数列
1、数列中
n
an 与 Sn 之间的关系：
, (n 1)
n 1
1
a
S S
n
注意通项能否合并。
S ,( n 2).
2、等差数列：
⑴定义： 如果一个数列从第
2 项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，
即 a － an 1
n
=d ，（n≥ 2，n∈N ）， 那么这个数列就叫做等差数列。 ⑵等差中项：若三数 ⑶通项公式： a
n
a、 A、 b 成等差数列
a b A
2
a1 (n 1)d a
m
(n m)d
或 an
⑷前 n
项和公式：
pn q ( p、q是常数） .
n a a
1
n
n n 1
S
n
na
1
d 2
2
⑸常用性质：
①若 m
n p q m, n, p,q N ，则 am a
, ak a
, a
,
a
p
a ；
q
n
②下标为等差数列的项
，仍组成等差数列；
k m k 2m
③数列
a
n
b
（ ,b为常数）仍为等差数列；
④若 {a } 、 {bn } 是等差数列，则
n
*
{ kan} 、 { kan
pbn} ( k 、 p
是非零常数 )、
{ap nq}( p,q N )、，? 也成等差数列。
⑤单调性： a 的公差为 d ，则：
n
ⅰ） d ⅱ） d ⅲ） d
0 0 0
a 为递增数列； n a 为递减数列； n
a 为常数列； n
an
pn q （ p,q 是常数）
，则
、
、
⑥数列 { an } 为等差数列 ⑦若等差数列
a
n
的前 n 项和
S
n
Sk S2k Sk S3k
?
S2k
是等差数列。
3、等比数列
⑴定义： 如果一个数列从第
2 项起， 每一项与它的前一项的比等于同一个常数，
那么这个数
列就叫做等比数列。 ⑵等比中项：若三数
a、G、b成等比数列 G2 ab, （ ab 同号）。 反之不一定成立。
⑶通项公式：
n 1 n m
a
n
a q
1
a q
m
n
⑷前 n
项和公式：
S
n
a1 1 q 1 q
a1 a q
n
1 q
⑸常用性质
①若 m
n p q m, n, p,q N ，则 a a
,
为等比数列，公比为
m k
a a ；
p
q
n
②
k
,a ,a
k m
a
k 2m
q (下标成等差数列 ,则对应的项成等比数列 )
③数列
a （
n
为不等于零的常数）仍是公比为
q
的等比数列；正项等比数列
a ；则
n
lg an 是公差为 lg q 的等差 数列；
④若
a 是等比数列，则
n
2
n
n
1
n
ca ，a
， a
2
，
a
r
(r Z) 是等比数列，公比依次是
n
. r
q q q ， ， ，
q
1
⑤单调性：
a1 0,q 1或a1 0,0 q 1
为递减数列；
an 为递增数列； a1 0,0 q 1或a1 0,q 1 an
q 1 q 0
an 为常数列； an 为摆动数列；
⑥既是等差数列又是等比数列的数列是常数列。 ⑦若等比数列
a
n
的前 n 项和 Sn ，则 Sk 、 S2k
Sk 、 S3k S2k ?
是等比数列 .
4、非等差、等比数列通项公式的求法
类型Ⅰ观察法： 已知数列前若干项， 求该数列的通项时， 一般对所给的项观察分析， 寻找规律，从而根据规律写出此数列的一个通项。 n
类型Ⅱ公式法： 若已知数列的前 公式
n
项和 与
S
n
a 的关系，求数列 an
n
的通项 an 可用
a
S
1
, (n 1) S ,(n 2)
n 1
构造两式作差求解。
S
n
用此公式时要注意结论有两种可能，一种是“一分为二”，即分段式；另一种是“合二 为一”，即 a 和 a 合为一个表达， （要先分 n 1和 n
1
n
2两种情况分别进行运算，然后验证
能否统一）。
类型Ⅲ累加法：
形如 an 1
an
f (n) 型的递推数列 （其中 f (n) 是关于 n
的函数）可
构造：