专题11 平面向量
1．【2019年高考全国I卷理数】已知非零向量a，b满足|a|?2|b|，且(a?b)?b，则a与b的夹角为
π 62πC．
3A．【答案】B
π 35πD．
6B．
2a?b|b|1??【解析】因为(a?b)?b，所以(a?b)?b?a?b?b=0，所以a?b?b2，所以cos?=，a?b2|b|222所以a与b的夹角为
π，故选B． 3【名师点睛】对向量夹角的计算，先计算出向量的数量积及各个向量的摸，在利用向量夹角公式求出夹角的余弦值，再求出夹角，注意向量夹角范围为[0,?]．
2．【2019年高考全国II卷理数】已知AB=(2,3)，AC=(3，t)，BC=1，则AB?BC= A．?3 C．2 【答案】C
22【解析】由BC?AC?AB?(1,t?3)，BC?1?(t?3)?1，得t?3，则BC?(1,0，)
B．?2 D．3
ABBC?(2,3)(1,0)?2?1?3?0?2．故选C．
【名师点睛】本题考点为平面向量的数量积，侧重基础知识和基本技能，难度不大．
3．【2019年高考北京卷理数】设点A，B，C不共线，则“AB与AC的夹角为锐角”是“|AB?AC|?|BC|”的
A．充分而不必要条件 C．充分必要条件 【答案】C
【解析】AB与AC的夹角为锐角，所以|AB|2?|AC|2?2AB?AC?|AB|2?|AC|2?2AB?AC，即
B．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件
|AB?AC|2?|AC?AB|2，因为AC?AB?BC，所以|AB+AC|>|BC|；
22
当|AB+AC|>|BC|成立时，|AB+AC|>|AB-AC|?AB?AC>0，又因为点A，B，C不共线，所
以AB与AC的夹角为锐角.故“AB与AC的夹角为锐角”是“|AB+AC|>|BC|”的充分必要条件,故选C．
【名师点睛】本题考查充要条件的概念与判断?平面向量的模?夹角与数量积,同时考查了转化与化归数学思想.
4．【2018年高考全国I卷理数】在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则EB?
31AB?AC 4431C．AB?AC
44A．【答案】A
13AB?AC 4413D．AB?AC
44B．
【解析】根据向量的运算法则，可得BE?111111BA?BD?BA?BC?BA?BA?AC 2224241113131?BA?BA?AC?BA?AC，所以EB?AB?AC. 2444444??故选A.
【名师点睛】该题考查的是有关平面向量的基本问题，涉及的知识点有三角形的中线向量、向量加法的三角形法则、共线向量的表示以及相反向量的问题，在解题的过程中，需要认真对待每一步运算. 5．【2018年高考全国II卷理数】已知向量a，b满足|a|?1，a?b??1，则a?(2a?b)? A．4 C．2 【答案】B
【解析】因为a??2a?b??2a?a?b?2|a|???1??2?1?3所以选B.
22B．3 D．0
【名师点睛】已知非零向量a?(x1,y1)，b?(x2,y2)：
几何表示 坐标表示
模 |a|=a?a cos??a?b a?ba?x12?y12 cos??x1x2?y1y2x?y?x2?y2212122夹角 6．（2018年高考浙江卷）已知a，b，e是平面向量，
π e是单位向量．若非零向量a与e的夹角为3，
2
向量b满足b?4e·b+3=0，则|a?b|的最小值是 A．3?1 B．3+1 C．2 D．2?3 【答案】A 【解析】设
，则由
，
由b2?4e·b+3=0得
的距离
因此|a?b|的最小值为圆心
选A.
到直线
得
23=3减去半径1，为2【名师点睛】本题主要考查平面向量的夹角、数量积、模及最值问题，考查数形结合思想，考查考生的选算求解能力以及分析问题和解决问题的能力，考查的数学核心素养是直观想象、数学运算. 7．【2018年高考天津卷理数】如图，在平面四边形ABCD中，
AB?BC,AD?CD,?BAD?120,AB?AD?1,若点E为边CD上的动点，则AE?BE的最小值为
21 1625C．
16A．【答案】A
B．
3 2D．3