2017步步高大一轮复习讲义数学4.2

1.同角三角函数的基本关系 (1)平方关系:sin2α+cos2α=1. sinα

(2)商数关系:=tanα.

cosα

2.下列各角的终边与角α的终边的关系

角 2kπ+α(k∈Z) π+α -α 图示 与角α终边的关系 角 相同 π-α 关于原点对称 π-α 2 关于x轴对称 π+α 2图示 与角α终边的关系 3.六组诱导公式 组数 角 正弦 余弦 一 2kπ+α(k∈Z) sin_α cos_α 二 π+α -sin_α -cos_α 三 -α -sin_α cos_α 四 π-α sin_α -cos_α 五 π-α 2cos_α sin_α 六 π+α 2cos_α -sin_α 关于y轴对称 关于直线y=x对称 正切 口诀

【思考辨析】

tan_α tan_α -tan_α -tan_α 函数名不变符号看象限 函数名改变符号看象限 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)若α,β为锐角,则sin2α+cos2β=1.( × ) sinα

(2)若α∈R,则tanα=恒成立.( × )

cosα

(3)sin(π+α)=-sinα成立的条件是α为锐角.( × )

π

(4)诱导公式的记忆口诀中“奇变偶不变,符号看象限”,其中的奇、偶是指的奇数倍和偶

2数倍,变与不变指函数名称的变化.( √ )

5

1.(教材改编)已知α是第二象限角,sinα=,则cosα等于( )

135A.-

135C. 13答案 B

5

解析 ∵sinα=,α是第二象限角,

1312

∴cosα=-1-sin2α=-. 13

1+sinx1cosx

2.已知=-,那么的值是( )

cosx2sinx-11

A. 2C.2 答案 A

1+sinxsinx-1sin2x-1

解析 由于·==-1,

cosxcosxcos2x故

cosx1=. sinx-12

1B.- 2D.-2 12B.- 1312D. 13

3.已知sin(π-α)=log8,且α∈(-,0),则tan(2π-α)的值为( )

42

25A.-

525C.± 5答案 B

25B. 5D.5 2

12

解析 sin(π-α)=sinα=log8=-,

43π5

又α∈(-,0),得cosα=1-sin2α=,

23sinα25

tan(2π-α)=tan(-α)=-tanα=-=.

cosα5π?22π

-α=,则sin?α-?=________. 4.已知cos?3??6?3?2

答案 -

3

π2ππ-α?+?α-?=-, 解析 ∵?3??6??22πππ?

-α, ∴α-=--?32?6?2πππ

α-?=sin?--?6-α?? ∴sin?3???2?

??

ππ

-α?? =-sin?2+??6?

??

π?2-α=-. =-cos??6?3

π??2cos 3x,x≤2000,

5.已知函数f(x)=?则f[f(2 016)]=________.

??x-16,x>2000,答案 -1

解析 ∵f[f(2 016)]=f(2016-16)=f(2000), 2000π2

∴f(2000)=2cos=2cosπ=-1.

33

题型一 同角三角函数关系式的应用

例1 (1)已知tanθ=2,则sin2θ+sinθcosθ-2cos2θ等于( ) 4

A.-

3

5B. 4

3C.-

44D. 5

15π3π

(2)已知sinαcosα=,且<α<,则cosα-sinα的值为( )

842A.-

3

2

B.3 2

3C.-

4

答案 (1)D (2)B

3D. 4

解析 (1)由于tanθ=2,则sin2θ+sinθcosθ-2cos2θ sin2θ+sinθcosθ-2cos2θ= sin2θ+cos2θsin2θsinθcosθ

+-2cos2θcos2θ= sin2θ

+1cos2θ

tan2θ+tanθ-222+2-24==2=. 5tan2θ+12+15π3π

(2)∵<α<,

42

∴cosα<0,sinα<0且cosα>sinα, ∴cosα-sinα>0.

13又(cosα-sinα)2=1-2sinαcosα=1-2×=,

84∴cosα-sinα=

3. 2

sinα

思维升华 (1)利用sin2α+cos2α=1可以实现角α的正弦、余弦的互化,利用=tanα可以

cosα实现角α的弦切互化.

(2)应用公式时注意方程思想的应用:对于sinα+cosα,sinαcosα,sinα-cosα这三个式子,利用(sinα±cosα)2=1±2sinαcosα,可以知一求二.

(3)注意公式逆用及变形应用:1=sin2α+cos2α,sin2α=1-cos2α,cos2α=1-sin2α.

已知sinα-cosα=2,α∈(0,π),则tanα等于( )

A.-1 C.2

2

B.-D.1

2 2

答案 A

解析 由??sinα-cosα=2,

?sin2α+cos2α=1,

消去sinα得:2cos2α+22cosα+1=0, 即(2cosα+1)2=0, ∴cosα=-22

. 又α∈(0,π), ∴α=3π4

∴tanα=tan3π

4

=-1.

题型二 诱导公式的应用

例2 (1)已知sin??α+π12??=1

3,则cos??α+7π12??的值为________. (2)已知A=sin?kπ+α?cossinα+?kπ+α?

cosα(k∈Z),则A的值构成的集合是( A.{1,-1,2,-2} B.{-1,1}

C.{2,-2} D.{1,-1,0,2,-2}

答案 (1)-1

3

(2)C

解析 (1)cos??α+7π12??=cos????α+ππ

12??+2?? =-sin?π?α+12??=-13

. (2)当k为偶数时,A=sinαcosα

sinα+cosα=2;

k为奇数时,A=-sinαsinα-cosα

cosα=-2.

∴A的值构成的集合是{2,-2}. 思维升华 (1)诱导公式用法的一般思路 ①化大角为小角.

②角中含有加减π2的整数倍时,用公式去掉π

2的整数倍.

(2)常见的互余和互补的角

①常见的互余的角:π3-α与πππππ

6+α;3+α与6-α;4+α与4-α等.②常见的互补的角:π3+θ与2π3-θ;π3π

4+θ与4

-θ等.

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