π?1
(1)已知sin??3－α?＝2，
π
＋α?＝________. 则cos??6?
(2)sin(－1200°)cos1290°＋cos(－1020°)sin(－1050°)＝________. 1
答案 (1) (2)1
2
πππ－α?＋?＋α?＝， 解析 (1)∵??3??6?2πππ
＋α?＝cos?－?3－α?? ∴cos???6?2?
??
π?1
＝sin??3－α?＝2. (2)原式＝－sin1200°cos1290°－cos1020°sin1050°
＝－sin(3×360°＋120°)cos(3×360°＋210°)－cos(2×360°＋300°)sin(2×360°＋330°) ＝－sin120°cos210°－cos300°sin330°
＝－sin(180°－60°)cos(180°＋30°)－cos(360°－60°)·sin(360°－30°) ＝sin60°cos30°＋cos60°sin30° ＝
3311
×＋×＝1. 2222
题型三 同角三角函数关系式、诱导公式的综合应用
π
例3 (1)已知α为锐角，且有2tan(π－α)－3cos(＋β)＋5＝0，tan(π＋α)＋6sin(π＋β)－1＝0，
2则sinα的值是( ) 35A. 5310C. 10
37B. 71D. 3
33
sin?－α－π?cos?π－α?
22
(2)已知sinα是方程5x2－7x－6＝0的根，α是第三象限角，则·tan2(π
ππcos?－α?sin?＋α?
22－α)＝________________________________________________________________________. 9
答案 (1)C (2)－
16
π
解析 (1)2tan(π－α)－3cos(＋β)＋5＝0化简为
2－2tanα＋3sinβ＋5＝0，①
tan(π＋α)＋6sin(π＋β)－1＝0化简为 tanα－6sinβ－1＝0.②
由①②消去sinβ，解得tanα＝3. 又α为锐角，根据sin2α＋cos2α＝1， 310
解得sinα＝.
10
3
(2)∵方程5x2－7x－6＝0的根为－或2，
53
又α是第三象限角，∴sinα＝－，
54
∴cosα＝－1－sin2α＝－，
53－53sinα
∴tanα＝＝＝，
cosα44
－5
cosα?－sinα?9
∴原式＝·tan2α＝－tan2α＝－.
sinα·cosα16
思维升华 利用同角三角函数基本关系式和诱导公式化简三角函数的基本思路和化简要求：(1)基本思路：①分析结构特点，选择恰当公式；②利用公式化成单角三角函数；③整理得最简形式．(2)化简要求：①化简过程是恒等变形；②结果要求项数尽可能少，次数尽可能低，结构尽可能简单，能求值的要求出值．
π?3π
＋α＝，α∈?0，?，则sin(π＋α)等于( ) (1)已知sin??2?5?2?
3
A. 54C. 5
(2)已知sin(π－α)－cos(π＋a)＝A．0 3C. 2
答案 (1)D (2)D
π3＋α?＝， 解析 (1)由已知sin??2?53
得cosα＝，
5π0，?， ∵α∈??2?4∴sinα＝，
5
3B．－ 54D．－ 5
2?π
＜α＜π?，则sinα－cosα等于( )
?3?21
B. 24D. 3
4
∴sin(π＋α)＝－sinα＝－. 5(2)由sin(π－α)－cos(π＋α)＝得sinα＋cosα＝
2
①， 3
2， 3
2
将①两边平方得1＋2sinαcosα＝，
97
故2sinαcosα＝－，
9
716－?＝. 所以(sinα－cosα)2＝1－2sinαcosα＝1－??9?9π
又＜α＜π， 2
所以sinα＞0，cosα＜0，sinα－cosα>0， 4
则sinα－cosα＝.
3
7．分类讨论思想在三角函数中的应用
25
典例 (1)已知sinα＝，则tan(α＋π)＋＝________.
55π??cos?2－α?
(2)在△ABC中，若sin(2π－A)＝－2sin(π－B)，3cosA＝－2cos(π－B)，则C＝________. 思维点拨 利用同角三角函数基本关系式中的平方关系时，要根据角的范围对开方结果进行讨论．
25
解析 (1)∵sinα＝＞0，
5∴α为第一或第二象限角． cosα
tan(α＋π)＋＝tanα＋ 5πsinα?cos??2－α?＝
sinαcosα1
＋＝. cosαsinαsinαcosα
5， 5
5π?sin??2＋α?
5π?
sin??2＋α?
①当α是第一象限角时，cosα＝1－sin2α＝15
原式＝＝. sinαcosα2
②当α是第二象限角时，cosα＝－1－sin2α＝－15
原式＝＝－.
sinαcosα255综上①②，原式＝或－. 22
5， 5
?sinA＝2sinB， ①
(2)由已知得?
?3cosA＝2cosB，②
2
①2＋②2得2cos2A＝1，即cosA＝±，
2当cosA＝
23时，cosB＝， 22
又A、B是三角形的内角，
ππ7
∴A＝，B＝，∴C＝π－(A＋B)＝π.
4612当cosA＝－23
时，cosB＝－. 22
又A、B是三角形的内角， 35
∴A＝π，B＝π，不合题意．
467综上，C＝π.
12
557
答案 (1)或－ (2)π
2212
温馨提醒 (1)本题在三角函数的求值化简过程中，体现了分类讨论思想，即使讨论的某种情况不合题意，也不能省略讨论的步骤；(2)三角形中的三角函数问题，要注意隐含条件的挖掘及三角形内角和定理的应用．
[方法与技巧]
同角三角函数基本关系是三角恒等变形的基础，主要是变名、变式．
1．同角关系及诱导公式要注意象限角对三角函数符号的影响，尤其是利用平方关系在求三角函数值时，进行开方时要根据角的象限或范围，判断符号后，正确取舍．
2．三角函数求值、化简是三角函数的基础，在求值与化简时，常用方法有：(1)弦切互化法：主要利用公式tanx＝
sinx
化成正弦、余弦函数；(2)和积转换法：如利用(sinθ±cosθ)2＝cosx
1±2sinθcosθ的关系进行变形、转化；(3)巧用“1”的变换：1＝sin2θ＋cos2θ＝cos2θ(1＋tan2θ)1π
1＋2?＝tan＝?；(4)运用相关角的互补、互余等特殊关系可简化解题步骤． ＝sin2θ??tanθ?4
[失误与防范]
1．利用诱导公式进行化简求值时，先利用公式化任意角的三角函数为锐角三角函数，其步骤：去负—脱周—化锐．
特别注意函数名称和符号的确定．
2．在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号．
A组 专项基础训练 (时间：30分钟)
1．若cosα＝1
3，α∈??－π2，0??，则tanα等于( ) A．－
2
4
B.24
C．－22 D．22
答案 C
解析 ∵α∈??－π
2，0?? ∴sinα＝－1－cos2α＝－1－?13?2＝－2
3
2，
∴tanα＝sinα
cosα
＝－22.
2．已知sin(π－α)＝－2sin(π
2＋α)，则sinα·cosα等于( )
A.25 B．－25 C.25或－25 D．－15
答案 B
解析 由sin(π－α)＝－2sin(π
2＋α)得sinα＝－2cosα，
∴tanα＝－2，
∴sinα·cosα＝sinα·cosαtanα2
sin2α＋cos2α＝1＋tan2α＝－5，故选B. 3．若角α的终边落在第三象限，则cosα1－sin2α＋2sinα
1－cos2α的值为( A．3 B．－3 C．1
D．－1
)