学生实验报告
开课学院及实验室： 电子楼317 2013 年 4 月 8 日
学院 机械与电气年级、专工程学院 业、班 姓名 学号 实验课程名称 数字信号处理实验 成绩 实验项目名称 实验三 时域及频域采样定理 指导老师 一、实验目的 熟悉并加深对采样定理的理解，了解采样信号的频谱和模拟信号频谱之间的关系。 二、实验原理 模拟信号经过理想采样，形成采样信号。采样信号的频谱和模拟信号频谱之间的关系如下： X?a(j?)?1?T?Xa(j(??m?s))m??? 此式告诉我们，采样信号的频谱是由模拟信号的频谱按照采样角频率周期性的延拓形成的，由此得到结论：采样频率必须大于等于模拟信号最高频率的两倍以上，才不会引起频率混叠。但用此式在计算机上进行计算不方便，下面我们将导出另外一个公式，以便在计算机上进行实验。 对模拟信号xa(t)进行理想采样的公式如下式： x??a(t)?xa(t)??(t?nT)n??? （3.1） ??j?t对上式进行傅立叶变换，得到：Xa(j?)?????x?a(t)edt ???[xa(t)???(t?nT)]e?j?t??dt n???将上式的积分号和求和号交换次序，得到： X?a(j?)?tn?????????xa(t)?(t?nT)e?j?dt 在上式的积分号内，只有当t?nT时，才有非零值，因此： X?a(j?)?j?nTn??x(nT)e?a??? 式中，xa(nT)在树值上等于由采样得到的时域离散信号x(n)，如果再将???T代入，得到： ?X?a(j?)?(n)e?j?nn?x??? （3.2） 上式的右边就是序列的傅立叶变换X(ejw)，即： X?a(j?)?X(ejw)|???T （3.3） 上式说明采样信号的傅立叶变换可用相应序列的傅立叶变换得到，只要将自变量?用?T代替即可。 ?这里有一个问题要解释，采样信号的频谱Xa(j?)是将模拟信号的频谱按照采样角频频率为周期，进行周期性延拓形成的，而序列的傅立叶变换是以2?为周期，这里是否一致？答案是肯定的。因为按照公式???T?2?f/fs，当f?fs时，??2?，因此序列的傅立叶变换以2?为周期，转换到模拟域就是以采样频率ff?f?s为周期。另外，s/2是Xa(j?)的折叠频率，如果产生频率混叠，就是在该处附近发生，在数字域中，就是在???附近易产生频谱混叠。有了以上的公式和概念，就可以用计算机研究对模拟信号的采样定理。 下面分析频域采样定理。对信号x(n)的频谱函数X(ej?)，在[0，2π]上等间隔采样N点，得到 XN(k)?X(ej?)??2?k , k?0,1,2,,N?1 （3.4） N 则N点IDFT[XN(k)]得到的序列就是原序列x(n)以N为周期进行周期延拓后的主值区序列，公式为： ? xN(n)?IDFT[XN(k)]N?[x(n?iN)]RN(n) (3.5) i????由上式可知，频域采样点数N必须大于等于时域离散信号的长度M(即N≥M)，才能使时域不产生混叠，则N点IDFT[XN(k)]得到的序列xN(n)就是原序列x(n),即xN(n)=x(n)。如果N>M，xN(n)比原序列尾部多N-M个零点；如果N