例2-6已知 y(k)?y(k?1)?0.9y(k?2))?f(k) 求单位响应。
a=[1,-1,0.9]; b=[1]; impz(b,a) impz(b,a,60) impz(b,a,-10:40)
4． 离散系统的零状态响应
MATLAB提供求离散系统零状态响应数值解函数filter，调用格式为filter(b,a,x),式中b和a是表示离散系统的向量，x是输入序列非零样值点行向量，输出向量序号同x一样。 例2-7 已知 y(k)?0.25y(k?1)?0.5y(k?2))?f(k)?f(k?1)， f(k)?()?(k) 求零状态响应， 范围0~20。 a=[1 -0.25 0.5]; b=[1 1]; t=0:20; x=(1/2).^t; y=filter(b,a,x) subplot(2,1,1) stem(t,x)
title('输入序列') subplot(2,1,2) stem(t,y)
title('响应序列') 三、上机实验内容 1．验证实验原理中程序
2．已知2y(k)?2y(k?1)?y(k?2)?f(k)?3f(k?1)?2f(k?2)，画单位响应波形。 3．已知y(k)?y(k?1)?0.25y(k?2)?f(k)，输入f(t)??(k)，画输出波形，范围0~15。
12k
13
实验三 连续时间LTI系统的时域分析
一、实验目的
1．学会用MATLAB求解连续系统的零状态响应； 2. 学会用MATLAB求解冲激响应及阶跃响应； 3．学会用MATLAB实现连续信号卷积的方法； 二、实验原理
1．连续时间系统零状态响应的数值计算
我们知道，LTI连续系统可用如下所示的线性常系数微分方程来描述，
?ayii?0N(i)(t)??bjf(j)(t)
j?0M在MATLAB中，控制系统工具箱提供了一个用于求解零初始条件微分方程数值解的函数lsim。其调用格式
y=lsim(sys,f,t)
式中，t表示计算系统响应的抽样点向量，f是系统输入信号向量，sys是LTI系统模型，用来表示微分方程，差分方程或状态方程。其调用格式
sys=tf(b,a)
式中，b和a分别是微分方程的右端和左端系数向量。例如，对于以下方程:
a3y'''(t)?a2y''(t)?a1y'(t)?a0y(t)?b3f'''(t)?b2f''(t)?b1f'(t)?b0f(t)
可用a?[a3,a2,a1,a0];b?[b3,b2,b1,b0]; sys?tf(b,a) 获得其LTI模型。
注意，如果微分方程的左端或右端表达式中有缺项，则其向量a或b中的对应元素应为零，不能省略不写，否则出错。
例3-1 已知某LTI系统的微分方程为 y’’(t)+ 2y’(t)+100y(t)=f(t)
其中，y(0)?y(0)?0,f(t)?10sin(2?t)，求系统的输出y(t).
解：显然，这是一个求系统零状态响应的问题。其MATLAB计算程序如下： ts=0;te=5;dt=0.01; sys=tf([1],[1,2,100]); t=ts:dt:te;
f=10*sin(2*pi*t); y=lsim(sys,f,t); plot(t,y);
xlabel('Time(sec)'); ylabel('y(t)');
2．连续时间系统冲激响应和阶跃响应的求解 在MATLAB中，对于连续LTI系统的冲激响应和阶跃响应，可分别用控制系统工具箱提供的函数impluse和step来求解。其调用格式为
'14
y=impluse(sys,t) y=step(sys,t)
式中，t表示计算系统响应的抽样点向量，sys是LTI系统模型。
例3-2已知某LTI系统的微分方程为 y’’(t)+ 2y’(t)+100y(t)=10f(t)
求系统的冲激响应和阶跃响应的波形. 解：ts=0;te=5;dt=0.01; sys=tf([10],[1,2,100]);
t=ts:dt:te;
h=impulse(sys,t); figure; plot(t,h);
xlabel('Time(sec)'); ylabel('h(t)');
g=step(sys,t); figure; plot(t,g);
xlabel('Time(sec)');
ylabel('g(t)');
3. 用MATLAB实现连续时间信号的卷积
信号的卷积运算有符号算法和数值算法，此处采用数值计算法，需调用MATLAB 的conv( )函数近似计算信号的卷积积分。连续信号的卷积积分定义是 f(t)?f1(t)?f2(t)?????f1(?)f2(t??)d?
如果对连续信号f1(t)和f2(t)进行等时间间隔?均匀抽样，则f1(t)和f2(t)分别变为离散时间信号f1(m?)和f2(m?)。其中，m为整数。当?足够小时，f1(m?)和f2(m?)既为连续时间信号f1(t)和f2(t)。因此连续时间信号卷积积分可表示为
f(t)?f1(t)?f2(t)??f1(?)f2(t??)d?????lim??0m????f(m?)?f1?
2(t?m?)??采用数值计算时，只求当t?n?时卷积积分f(t)的值f(n?)，其中，n为整数，既
f(n?)?
m?????f(m?)?f1m????2(n??m?)??
???f1(m?)?f2[(n?m)?]其中，
m????f(m?)?f1?2[(n?m)?]实际就是离散序列f1(m?)和f2(m?)的卷积和。当?足
15
够小时，序列f(n?)就是连续信号f(t)的数值近似，既 f(t)?f(n?)??[f1(n)?f2(n)]
上式表明，连续信号f1(t)和f2(t)的卷积，可用各自抽样后的离散时间序列的卷积再乘以抽样间隔?。抽样间隔?越小，误差越小。
例3-3用数值计算法求f1(t)?u(t)?u(t?2)与f2(t)?e?3tu(t)的卷积积分。
解：因为f2(t)?e?3tu(t)是一个持续时间无限长的信号，而计算机数值计算不可能计算真正的无限长信号，所以在进行f2(t)的抽样离散化时，所取的时间范围让f2(t)衰减到足够小就可以了，本例取t?2.5。程序是 dt=0.01; t=-1:dt:2.5;
f1=Heaviside(t)-Heaviside(t-2); f2=exp(-3*t).*Heaviside(t);
f=conv(f1,f2)*dt; n=length(f); tt=(0:n-1)*dt-2; subplot(221), plot(t,f1), grid on;
axis([-1,2.5,-0.2,1.2]); title('f1(t)'); xlabel('t') subplot(222), plot(t,f2), grid on;
axis([-1,2.5,-0.2,1.2]); title('f2(t)'); xlabel('t') subplot(212), plot(tt,f), grid on; title('f(t)=f1(t)*f2(t)'); xlabel('t')
由于f1(t)和f2(t)的时间范围都是从t=-1开始，所以卷积结果的时间范围从 t=-2开始，增量还是取样间隔?，这就是语句tt=(0:n-1)*dt-2的由来。 三、上机实验内容
1． 验证实验原理中所述的相关程序
2． 已知描述系统的微分方程和激励信号f(t)如下，试用解析法求系统的零状态响应y(t)，并用MATLAB绘出系统零状态响应的时域仿真波形，验证结果是否相同 y’’(t)+ 4y’(t)+4y(t)=f’(t)+3f(t) f(t)= exp(-t)u(t)
3．已知描述系统的微分方程如下，试用MATLAB求系统在0~10秒范围内冲激响应和阶跃响应的数值解，并用绘出系统冲激响应和阶跃响应的时域波形
y’’(t)+3y’(t)+2y(t)=f(t)
y’’(t)+ 2y’(t)+2y(t)=f’(t)
4．画出信号卷积积分f1(t)?f2(t)的波形，f1(t)?f2(t)?u(t)?u(t?1)
16