第十
动态经济学：离散时间 差分方程
董志勇 北京大学经济学院
上面一讲中，我们考虑了连续时间的情况，在这种情况下，涉及的时间变化都是数量极其微小的，因而可以用导数的方法来解决。而如果把时间视为离散变量，即对时间取整数值，导数的概念就不再适用了。这一讲中，我们介绍差分方程的方法，来解决离散时间的问题。
在离散时间的情况下，只有当时间从一个整数值变动到另一个整数值时，变量y的值才会变化，因此，可以将时间t解释为时期，而y为对每一个时期唯一值的量。
§11.1 差分方程的一般方法
设y?y(t)是变量y相对于t的函数，当t变化到t+1时，函数的增量记为
yt）?y=y(t?1)?（，称之为y?t?的一阶差分。?y的具体取值视去差分时涉及的连续时期t
而定，因此可以将y写作y t，将一阶差分定义为Δyt?yt+1?yt，其中yt表示t期的y值，yt+1表示t+1期的y值，我们可以将这种类型的方程称为一阶差分方程。
下面我们来探索求解一阶差分方程yt+1+ayt=c的一般方法。其中a和c是两个常数，其通解由两部分构成：特别积分部分y p和余函数y c，其中y p是该一阶差分方程的任意解，y c
t是它的简化方程的通解。它的简化形式为yt+1+ay=0，y p部分仍表示y的瞬时均衡水平，y c
表示时间路径于均衡的偏差。
首先来讨论余函数。我们可以试探形如y t=Abt的解。在这种情况下，亦有y t+1=Abt+1。
t如此，差分方程yt+1+ay=0变成Abt+1+aAbt=0，可以得知，b+a=o，即b=–a。因此余函数可
以写成y c=Abt=A(–a)t。
下面来讨论特别积分。对于y p，可以选择原一阶差分方程的任意解。首先试探y t=k，其中k为常数，则y在不同时间保持相同的常数值，即y t+1=k。带入原一阶差分方程得到
k?ak?c，即k=c，由于此特定的k满足原差分方程，所以特别积分部分可以写成1+ac(a??1?，在这种情况下它是一个稳定均衡。但如果a=–1,我们则试探yt?kt，1?ac?c,由于a=-1，知y 有yt+1=k(t+1)。带入原一阶差分方程，有k(t+1)+akt=c，即k?t?1?atyp?k?t=kt=ct，这种形式的特别积分是t的函数，表示移动均衡。
将这两部分相加，可以得到方程的通解：
?yt?A(?a)t?c(a??1)1?a tyt?A(?a)?ct?A?ct(a??1)最后确定常数A。借助t=0时，yt?y0，可以将上述通解写成
yt?A(-a)t?c(a??1)1?a?y?y?at(a ??1）t0
例11.1.1 解一阶差分方程yt+1?5yt?1 (y0?解：
§11.2 均衡的动态稳定性
均衡的动态稳定性问题就是当t??时，余函数是否等于零的问题。在连续时间的情况下，均衡的动态稳定性取决于余函数中的Ae项。在离散时间的情况下，需要考虑当
rt7) 4t??时，Abt的路径问题。显然，b作为指数的底，具有关键的作用。
首先我们来单独考察b的意义。
以-1，0，1为界，可以将b分为7个不同的区域。在不同的区域中，b产生了不同的时间路径。在b?1的区域内，b随t的增长而递增，但由于时间t是离散的，做出b的图形是阶梯函数而不是平滑的曲线。当b=1时，b恒等于1，因而它的图形是一条水平的直线。当0 tttttbt恒等于0，与b=1的情况类似，它的图形与横轴重合。当b<0时，bt交替的变换正负号， 可以做出这7个区域内b的图形，如下： （略） 如图示，由b引起了时间路径的波动，随b的取值范围不同，时间路径的波动形式不同。可以看出，在区域Ⅴ，Ⅵ，Ⅶ，即b<0时，b的时间路径是振荡的，这种振荡是非平 ttt滑的，区别于三角函数的波动形式；在区域Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，即b>0时，b的时间路径是非振荡的。另外，在区域Ⅰ，Ⅶ，即b?1时，b的时间路径越来越远离横轴，为发散的；而在区域Ⅲ，Ⅴ，即b?1时，b的时间路径越来越趋近于横轴，为收敛的。 下面来考虑A的作用。A的大小会相应的“收缩”和“放大”b的值，但不改变图形的形状，称之为“标度效应”。A的符号会从根本上改变时间路径的形状，例如A由1变为-1，与b相乘，会导致时间路径的图形产生与坐标轴对称的置换。因此负A可以产生标度效应和镜像效应。 总之，余函数可以表示与均衡水平的偏差。 §11.3 蛛网模型 这一节介绍的蛛网模型是一阶差分方程在经济分析中的重要应用。它与前面其它市场模型的不同之处在于，它将Qi作为前一期市场价格的函数，而非本期市场价格。例如在农业生产中，种植必须比销售早一个适当的时期，在畜牧业中也同样适用。 可以假设没有存货的情况下，t期的产出水平是基于当时的市场价格Pt，但直到t+1期才能销售，故Pt决定的是Qt+1，其生产函数为Qs,t+1?S(Pt)，亦即Qst?S(Pt?1)。其需求函数为Qdt?D(Pt)。可以按照无滞后时的线性供给和需求函数，假设Qdt????Pt， ttttt????。这是一个Qst?????Pt-1。市场出清时的价格水平满足Qdt?Qst，即Pt+1?Pt???一阶差分方程。利用§11.1所介绍的解差分方程的一般方法和时间路径同解公式，得到 Pt?(P0????????)(?)t?，其中P0是初始价格。 ???????从上面的模型中可以看到， ???构成了差分方程的特别积分，可视为模型的瞬时均衡?价格，P???????。由于它是一个常数，所以是稳定均衡。将P?带入上述解中，得??