12．如图，在海岸线上相距26千米的A，C两地分别测得小岛π6B在A的北偏西α方向，在C的北偏西2－α方向，且cosα＝3，则BC之间的距离是( ) A．303千米 B．30千米 C．123千米 D．12千米 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上． 13．[2018·河南洛阳第三次统考]已知角α的始边与x轴的非负半sinα＋2cosα轴重合，顶点与坐标原点重合，终边过点P(3,4)，则＝sinα－cosα________. π14．[2018·江苏南师附中四校联考]已知tan4＋θ＝3，则sinθcosθ－3cos2θ的值为________． 15．[2018·广西钦州第三次质量检测]△ABC的三内角A，B，C5的对边边长分别为a，b，c，若a＝2b，A＝2B，则cosB＝________. 16．[2018·高考押题预测卷]如图，在△DEF中，M在线段DF3上，EM＝DE＝3，DM＝2，cos∠F＝5，则△MEF的面积为________． 小题专项练习(四) 三角恒等变换 1－sinα1π?与正余弦定理1.C cos?2＋4?＝＝2＝3，故2??选C. π??172．B ∵sinα＝17，α∈?0，2?， ??4172∴cosα＝1－sinα＝17， 1∴tanα＝4， πtanα－tan4π??3∴tan?α－4?＝＝－π5，故选B. ??1＋tanα·tan4623．D 由正弦定理得sinB＝π， sin43∴sinB＝2， π2π又6>2，B∈(0，π)，∴B＝3或B＝3， 11∴cosB＝2或cosB＝－2，故选D. ?π5π?4．B ∵α∈?2，4?， ??π?π?∴α－4∈?4，π?， ??π?32??∴sinα－4?＝5<2， ??π?π?∴α－4∈?2，π?， ??π??4∴cos?α－4?＝－5， ??ππ?π?ππ?π3???2∴sinα＝sin?α－4＋4?＝sin?α－4?cos4＋cos?α－4?cos4＝5×2＋???????4?22?－?×＝－，故选B. 210?5?25．C ∵sin(π－α)－cos(π＋α)＝3， 2?απ????α＋1＋cos2??2∴sinα＋cosα＝3， 2∴1＋2sinαcosα＝9， 7∴2sinαcosα＝－9， 16∴(sinα－cosα)＝1－2sinαcosα＝9， ?π?又α∈?2，π?，sinα－cosα>0， ??4∴sinα－cosα＝3，故选C. 16．B 由sin(C－A)＝2sinB， 得2sin(C－A)＝sin(C＋A)， ∴2sinCcosA－2cosCsinA＝sinCcosA＋cosCsinA， ∴sinCcosA＝3cosCsinA，由正余弦定理，得 b2＋c2－a2a2＋b2－c2c·2bc＝3a·2ab， 得4c2－4a2＝2b2＝2×16＝32， ∴c2－a2＝8，故选B. 2cos2θ7．B 由＝3sin2θ， ?π?cos?4＋θ???2?cos2θ－sin2θ?得＝23sinθcosθ， 22?cosθ－sinθ?即2(cosθ＋sinθ)＝23sinθcosθ， ∴1＋2sinθcosθ＝3sin2θcos2θ， 1∴sinθcosθ＝－3，或sinθcosθ＝1(舍)， 2∴sin2θ＝－3，故选B. 8．D 由sinα－2cosα＝3， 得sin2α－22sinαcosα＋2cos2α＝3sin2α＋3cos2α， ∴2sin2α＋22sinαcosα＋cos2α＝0， ∴2tan2α＋22tanα＋1＝0， 2∴(2tanα＋1)2＝0，∴tanα＝－2，故选D. 29．D 由bsin2A＋3asinB＝0， 得2bsinAcosA＋3asinB＝0， ∴2sinBsinAcosA＋3sinAsinB＝0， ∴sinBsinA(2cosA＋3)＝0， 在△ABC中，sinB≠0，sinA≠0，∴2cosA＋3＝0， 3∴cosA＝－2， 由余弦定理，得 3222222a＝b＋c－2bccosA＝3c＋c＋23c·2＝7c2， c7∴a＝7，故选D. ?π?111031010．A ∵tan?4－A?＝2，∴tanA＝3，∴sinA＝10，cosA＝10，??25sinC＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB＝5， 1125∵S△ABC＝25，∴S△ABC＝2absinC＝2ab5＝25， ∴ab＝255， 22bsinB又a＝sinA＝＝5， 1010∴a＝5，b＝55， ∴a＋b＝5＋55，故选A. 11．A ∵absinC＝20sinB， ∴abc＝20b， 即ac＝20， 1222∴b＝a＋c－2accosB＝41－40×8＝36， ∴b＝6，故选A. 12．D 由题可知∵AC＝26， ?π?6??sinA＝sin2＋α＝cosα＝3， ???π?1sinB＝sin?2－2α?＝cos2α＝2cos2α－1＝3， ??