由
43πr知，所镀34?v?dv?(πr3)???r?4π?0.01?0.04π，
r?13v?铜的体积为
质量为 m?0.04π?8.9g?1.2g.
小结 利用公式f(x0??x)?f(x0)?f?(x0)?x计算函数近似值时，关键是选取函数f(x)的形式及正确选取x0,?x.一般要求 f(x0),f?(x0)便于计算，?x越小，计算出函数的近似值与精确值越接近.另外，在计算三角函数的近似值时，?x必须换成弧度. 8．求曲线的切线方程
例11 求曲线(x?1)2?(y?)2?的切线，使该切线平行于直线
2x?y?8.
3254解 方程
35(x?1)2?(y?)2?24两端对x求导，得
32?2x2(x?1)?2(y?)y??0 ， y?(3?2y)?2?2x， y??，
23?2y由于该切线平行于直线 2x?y?8,所以有
2?2x??2 ，1?x??(3?2y) ，x?2y?4?0 ，x?4?2y. 3?2y因为切线必在曲线上，所以，将x?4?2y代入曲线方程得 [(4?2y)?1]2?(y?)2?，
5y2?15y?10?0，y2?3y?2?0，
3254解之 y1??1,y2??2 ，此时 x1?4?2?(?1)?2,x2?4?2?(?2)?0， 切点的坐标为(2,?1),(0,?2)，切线的斜率分别为
2?2x k1?y?(2,?1)?3?2y(2,?1)?2?2?2?2???2，
3?2?(?1)1 11
k2?y?(0,?2)?2?2x3?2y?(0,?2)2?02???2，
3?2?(?2)?1因此得切线的方程分别为
y?1??2(x?2) ， 即 2x?y?3?0， y?2??2(x?0) ， 即 2x?y?2?0.
9．求函数的变化率
例 12 落在平静水面上的石头，产生同心圆形波纹，若最外一圈半径的增大率总是6ms，问2s末受到扰动的水面面积的增大率为多少？
解 设最外圈波纹半径为r，扰动水面面积为S，则 S?πr2 两边同时对 t求导，得 从而 又
dSdt?2πrt?2dSdr?π?2r dtdtdrdt?2πrt?2?6?12πrt?2，
t?2dr?6为常数，故 r?6t（类似于匀速直线运动路程与速度、时dt间的关系）， 因此 rt?2?12，故有
dSdt?12π?12?14π4(ms).
2t?22因此，2s末受到扰动的水面面积的增大率为144π(ms).
小结 对于求变化率的模型，要先根据几何关系及物理知识建立变量之间的函数关系式.若是相关变化率模型，求变化率时要根据复合函数的链式求导法，弄清是对哪个变量的导数. 三、学法建议
1．本章重点为导数的概念及其几何意义，计算导数的方法，初等函数的二阶导数的
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求法，其难点是求复合函数和隐函数的导数方法.
2． 要正确理解导数与微分的概念，弄清各概念之间的区别与联系.比如，可导必连
续，反之，不一定成立.可导与可微是等价的.这里等价的含义是：函数在某点x可导必定得出在该点可微，反之，函数在某点x可微，必能推出在该点可导.但并不意味着可导与可微是同一概念.导数是函
lim数改变量?y与自变量改变量?x之比的极限?x?0?y?f?(x)，微分是函数?x增量的线性主部?y?dy?o(?x)?A??x?o(?x)，在概念上两者有着本质的区别.
3． 复合函数求导法既是重点，又是难点，不易掌握，怎样才能达到事半功倍的效果
呢？首先，必须熟记基本的求导公式，其次，对求导公式
dydydu??必dxdudx须弄清每一项是对哪个变量求导，如 y?f[?(x)],y??f?[?(x)], 因为
y??dydx,f?[?(x)]?dy 理解公式还要和微商结合起来，右边的微分d?(x)约分之后必须等于左边的微商.另外，要想达到求导既迅速又准确，必须多做题.但要牢记，导数是函数改变量之比的极限，不能因为有了基本初等函数的求导公式及求导法则后，就认为求导仅是利用这些公式与法则的某种运算而忘记了导数的本质.
4．利用导数解决实际问题，本章主要有三类题型.一类几何应用，用来求切线、法线方程.其关键是求出切线的斜率k?dydx及切点的
x?x?坐标；另一类是变化率模型，求变化率时，一定要弄清是对哪个变量
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dsdvd2s的变化率，如速度v?,加速度a??2.再有一类是用微分近似计
dtdtdt算求某个量的改变量，解决这类问题的关键是选择合适的函数关系
y?f(x)，正确选取x0及?x，切莫用中学数学方法求问题的准确值，
否则是不符合题意的.
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