还原问题（一）
教学目标
倒推法解决问题．
本讲主要学习还原问题．通过本节课的学习，可以使学生掌握倒推法的解题思路以及方法，并会运用
1. 掌握用倒推法解单个变量的还原问题． 2. 了解用倒推法解多个变量的还原问题． 3. 培养学生“倒推”的思想．
知识点拨
一、还原问题
已知一个数，经过某些运算之后，得到了一个新数，求原来的数是多少的应用问题，它的解法常常是以新数为基础，按运算顺序倒推回去，解出原数，这种方法叫做逆推法或还原法，这种问题就是还原问题．
还原问题又叫做逆推运算问题．解这类问题利用加减互为逆运算和乘除互为逆运算的道理，根据题意的叙述顺序由后向前逆推计算．在计算过程中采用相反的运算，逐步逆推．
二、解还原问题的方法
在解题过程中注意两个相反：一是运算次序与原来相反；二是运算方法与原来相反． 方法：倒推法。
口诀：加减互逆，乘除互逆，要求原数，逆推新数．
关键：从最后结果出发，逐步向前一步一步推理，每一步运算都是原来运算的逆运算，即变加为减，变
减为加，变乘为除，变除为乘．列式时还要注意运算顺序，正确使用括号.
例题精讲
模块一、计算中的还原问题
【例 1】 一个数的四分之一减去5，结果等于5，则这个数等于_____。 【考点】计算中的还原问题 【难度】1星 【题型】填空 【关键词】希望杯，五年级，二试，第3题 【解析】 方法一：倒推计算知道，一个数的四分之一是10，所以这个数是10?4=40。
1方法二：令这个数为x,则x?5?5，所以x?40。
4【答案】40
【例 2】 某数先加上3，再乘以3，然后除以2，最后减去2，结果是10，问：原数是多少？ 【考点】计算中的还原问题 【难度】1星 【题型】解答 【关键词】可逆思想方法 【解析】 分析时可以从最后的结果是10逐步倒着推。这个数没减去2时应该是多少？没除以2时应该是多
少？没乘以3时应该是多少？没加上3时应该是多少？这样依次逆推，就可以推出某数。如果没减
1
去2，此数是：如果没除以2，此数是：如果没乘以3，此数是：24?3?8，10?2?12，12?2?24，
如果没加上3，此数是：8?3?5，综合算式?10?2??2?3?3?5，原数是5.
【答案】5
【巩固】 (2008年“陈省身杯”国际青少年数学邀请赛)有一个数，如果用它加上6，然后乘以6，再减去6，
最后除以6，所得的商还是6，那么这个数是 。
【考点】计算中的还原问题 【难度】1星 【题型】填空 【关键词】可逆思想方法 【解析】 将最终结果进行逆推，得： （6?6?6）?6?6?1 【答案】1
【巩固】 一个数减16加上24，再除以7得36，求这个数．你知道这个数是几吗? 【考点】计算中的还原问题 【难度】1星 【题型】解答 【关键词】可逆思想方法 【解析】 36?7?24?16?244. 【答案】244
【巩固】 少先队员采集树种子，采得的个数是一个有趣的数．把这个数除以5，再减去25，还剩25，你算一
算，共采集了多少个树种子?
【考点】计算中的还原问题 【难度】1星 【题型】解答 【关键词】可逆思想方法 【解析】 （25?25）?5?250(个)，即共采集了250个树种子. 【答案】250
【例 3】 学学做了这样一道题：某数加上10，乘以10，减去10，除以10，其结果等于10，求这个数．小
朋友，你知道答案吗？
【考点】计算中的还原问题 【难度】1星 【题型】解答 【关键词】可逆思想方法 【解析】 根据题意，一个数，经过加法、乘法、减法、除法的变化，得到结果10，应用逆推法，由结果10，
根据加、减法与乘、除法的互逆运算，倒着往前计算．
10?10?100，100?10?110，110?10?11，11?10?1综合算式为： （10?10?10）?10?10?（100?10）?10?10?110?10?10?11?10?1所以这个数为1.
解这种还原问题的关键是从最后结果出发，逐步向前一步一步推理，每一步运算都是原来运算的逆运算，即变加为减，变减为加，变乘为除，变除为乘．列式时还要注意运算顺序，正确使用括号，这种逆向思维的方法是数学中常用的思维方法．
【答案】1
【巩固】 学学做了这样一道题：一个数加上3，减去5，乘以4，除以6得16，求这个数．小朋友，你知道
答案吗？
【考点】计算中的还原问题 【难度】1星 【题型】解答 【关键词】可逆思想方法 【解析】 根据题意，一个数，经过加法、减法、乘法、除法的变化，得到结果16，应用逆推法，由结果10，
根据加、减法与乘、除法的互逆运算，倒着往前计算．
某数+3-5×4÷616
综合算式为：16?6?4?5?3?96?4?5?3?24?5?3?29?3?26
【答案】26
【巩固】 一次数学竞赛颁奖会上，小刚问老师：“我得了多少分？”老师说：“你的得分减去6后，缩小2倍，
再加上10后，扩大2倍，恰好是100分”．小刚这次竞赛得了多少分？
【考点】计算中的还原问题 【难度】1星 【题型】解答
2
【关键词】可逆思想方法 【解析】 从最后一个条件“恰好是100分”向前推算．扩大2倍是100分，没有扩大2倍之前应是100?2?50
(分)，加上10后是50分，没有加上10前应是50?10?40(分)，缩小2倍是40分，那么没有缩小2倍前应是40?2?80(分)，减去6后是80分，没有减去6前应是80?6?86(分)．综合列式为：(100?2?10)?2?6?40?2?6?86(分)，所以，小刚这次竞赛得了86分．
【答案】86
【例 4】 牛老师带着37名同学到野外春游．休息时，小强问：“牛老师您今年多少岁啦?”牛老师有趣地回答：
“我的年龄乘以2，减去16后，再除以2，加上8，结果恰好是我们今天参加活动的总人数．”小朋友们，你知道牛老师今年多少岁吗?
【考点】计算中的还原问题 【难度】2星 【题型】解答 【关键词】可逆思想方法 【解析】 采用倒推法，我们可以从最后的结果“参加活动的总人数”即38倒着往前推．这个数没加上8时应是
多少？没除以2时应是多少？ 没减去16时应是多少？没乘以2时应是多少？
这样依次逆推，就可以求出牛老师今年的岁数．没加上8时应是：38?8?30；没除以2时应是：
；30?2?60；没减去16时应是：60?1?676没乘以2时应是：76?2?3，8即
（[38?）8?2?16?]? (岁2).
【答案】38岁
【巩固】 小智问小康：“你今年几岁？”小康回答说：“用我的年龄数减去8，乘以7，加上6，除以5，正好
等于4. 请你算一算，我今年几岁？”
【考点】计算中的还原问题 【难度】2星 【题型】解答 【关键词】可逆思想方法 【解析】 分析时可以从最后的结果是4逐步倒着推。这个数没除以5时应该是多少？没没加上6时应该是多
少？没乘以7时应该是多少？没减去8时应该是多少？这样依次逆推，就可以推出某数。 如果没除以5，此数是：4?5?20 如果没加上6，此数是：20?6?14 如果没乘以7，此数是：14?7?2 如果没减去8，此数是：2?8?10
综合算式：?4?5?6??7?8?10（岁） 答：小康今年10岁。
【答案】10岁
【巩固】 在小新爷爷今年的年龄数减去15后,除以4,再减去6之后,乘以10,恰好是100,问:小新爷爷今年多少
岁数?
【考点】计算中的还原问题 【难度】2星 【题型】解答 【关键词】可逆思想方法 【解析】 采用倒推法，(100?10?6)?4?15?79（岁）. 【答案】79岁
【巩固】 学学和思思在游玩时，遇到一位小神仙，他们问这位神仙：“你一定不到100岁吧！”谁知这位神仙
摇摇头说：“你们算算吧！把我的年龄加上75，再除以5，然后减去15，再乘以10，恰好是2000岁．”小朋友，你知道这位神仙现在有多少岁吗？
【考点】计算中的还原问题 【难度】2星 【题型】解答 【关键词】可逆思想方法 【解析】 这就是一个还原问题，可以用倒推法解决．从结果“2000”逐步倒着推，没乘10时是多少？没减去15
时是多少？没除以5时是多少？没加75时是多少？这样依次倒推，就可以知道神仙的年龄了． ⑴ “乘以10，恰好是2000”，不乘10时，应该是：2000?10?200 ⑵ “减去15”是200，不减15时，应该是：200?15?215 ⑶ “除以5”是215，不除以5，应该是：215?5?1075
⑷ 现在的年龄加上75是1075，如果不加75，这个数是：1075?75?1000 也就是神仙现在的年龄是1000岁．
验算：按原题顺序进行列式计算，看最后是否等于2000，如果等于2000，则解题正确．
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