数字信号处理期末试卷(含答案)(DOC)

??1/??1/0.1584?6.3138?ss

所以模拟滤波器的选择因子(transition ratio or electivity parameter)为

s

判别因子(discrimination parameter)为:

??pk??0.3109??k1??A?12?0.04867

因此,所需的巴特沃兹滤波器的阶数为:

N?

我们取N=3, 则

log10(1/k1)?2.59log(1/k)

????p2Np2?()????c??0.7853?c?2N???2ss?()?A?1??c??2.1509 ?c????ps???c???2.5?2.1509, 我们可取 0.7853 如取c,则所求得的低通巴特沃兹滤波器为:

1?)?Ha(s?)3?2(s?)2?2(s?)?1?/???/?(s/?ccc

11?)?Ha(s??/2.5)3?2(s?/2.5)2?2(s?/2.5)?10.064s?3?0.32s?2?0.8s??1 (s

?将低通滤波器转换为高通滤波器: 用低通到高通的转换关系s?1/ss3Ha(s)?0.064?0.32s?0.8s2?s3

1?z?1s??11?z最后采用双线性变换

H(z)?Ha(s)s?1?z?1

1?z?11?z?13()?11?z?1?z?11?z?121?z?130.064?0.32?0.8()?()?1?1?11?z1?z1?z?0.456z?3

?(1?z?1)3?2.072z?2?3.288z?1?2.184

11.(7分)信号y?n?包含一个原始信号x?n?和两个回波信号:

y?n??x?n??0.5x?n?nd??0.25x?n?2nd?

求一个能从y?n?恢复x?n?的稳定的滤波器.

11

解:因为X(z) 与Y(z)的关系如下:

?0.25z)X(z) Y(z)?(1?0.5z以y[n]为输入,x[n]为输出的系统函数为:

?nd?2ndG(z)?11?0.5z?nd?0.25z?2nd

nd 注意到:G(z)?F(z),且 F(z)的极点在:

F(z)?11?0.5z?1?0.25z?2

z??0.25(1?j3)

它在单位圆内半径为r=0.5处,所以G(z)的极点在单位圆内r'?(0.5)实现的。

?nd处,所以G(z)是可

《数字信号处理》

1. 1. (8分) 确定下列序列的共扼对称、共扼反对称或周期共扼对称、周期共扼反对称

部分: (a) {h[n]}?{?2?j5,4?j3,5?j6,3?j,?7?j2} (b) {h[n]}?{?2?j5,4?j3,5?j6,3?j,?7?j2}

2. (8分) 下式给出系统的输入与输出关系,判断它是线性的还是非线性的,移位不变还是移位变化的,稳定还是不稳定的,因果的还是非因果的。

y[n]?x[n]?x[?n]

3. (6分) 确定下列序列的平均功率和能量

?5?x[n]???u[?n]?3?

4.(6分)已知x[n](0?n?N?1)为长度为N(N为偶数)的序列,其DFT变换为X[k]

(1) (1) 用X[k]表示序列v[n]?x[?n?3?N]的DFT变换

nx[n]??(2) (2) 如果(0?n?N?1),求其N点DFT。

Y(z)H(z)?X(z) 5.. (8分)确定下列数字滤波器结构的传输函数

X(z) k2 -k1 Z-1 -k2 -1 Z a2 a1

Y(z)

n 12

6.(10分)以以下形式实现传输函数为

H(z)?(1?0.7z?1)5?1?3.5z?1?4.9z?2?3.43z?3?1.2005z?4?0.16807z?5

的FIR系统结构。

(1) (1) 直接形式

(2) 一个一阶系统,两个二阶系统的级联。

7. (10分)低通滤波器的技术指标为:

0???0.3?

H(ej?)?0.01 0.35?????

用窗函数法设计满足这些技术指标的线性相位FIR滤波器。

8.(20分)用双线性变换法设计一个离散时间巴特沃兹(Butterworth)高通滤波器,通带内等波纹,且

0.0?H(ej?)?0.10.99?H(ej?)?1.01 0???0.1? 0.9?H(ej?)?1.0 0.3?????。

9.(10分))信号y[n]包含一个原始信号x[n]和两个回波信号: y[n]=x[n]+0.5x[n-nd]+0.25x[n-2nd]

求一个能从y[n]恢复x[n]的可实现滤波器.

z?1?a*H(z)?1?az?1, 这里a?1 10 (14分))一个线性移不变系统的系统函数为

(a) 求实现这个系统的差分方程

(b) 证明这个系统是一个全通系统(即频率响应的幅值为常数的系统)

(c) H(z)和一个系统G(z)级联,以使整个系统函数为1,如果G(z)是一个稳定系统,求单位采样响应 g(n)。

附录:

表1 一些常用的窗函数 矩形窗(rectangular window) ?10?n?Mw[n]??其它 ?0汉宁窗(Hann window) 2?n??0.5?0.5cos()?M?n?Mw[n]??2M?1?0其它? 2?n??0.54?0.46cos()?M?n?Mw[n]??2M?1?0其它? 2?n4?n??0.42?0.5cos()?0.08cos()?M?n?Mw[n]??2M?12M?1?0其它? 汉明窗(Hamming window) 布莱克曼窗(Blackman window) Window

表2 一些常用窗函数的特性 Relative Minimum Main Lobe width ?ML 13

Transition

sidelobe level Asl Rectangular Hann Hamming Blackman 4?/(2M+1) 8?/(2M+1) 8?/(2M+1) 12?/(2M+1) 13.3dB 31.5dB 42.7dB 58.1dB stopband attenuation 20.9dB 43.9dB 54.5dB 75.3dB bandwidth ?? 0.92?/M 3.11?/M 3.32?/M 5.56?/M

?c=1归一化巴特沃兹滤波器的系统函数有以下形式:

Ha(s)?N 1 2 3 4 5

1sN?a1sn?1?a2sn?2???aN?1s?aN

表3 阶数1? N? 5归一化巴特沃兹滤波器系统函数的系数 a1 a2 a3 a4 a5 1.0000 1.4142 1.0000 2.0000 2.0000 1.0000 2.6131 3.4142 2.6131 1.0000 3.2361 5.2361 5.2361 3.2361 1.0000 《数字信号处理》考试答案

总分:100分

2. 1. (8分) 确定下列序列的共扼对称、共扼反对称或周期共扼对称、周期共扼反对称部

分: (a) {h[n]}?{?2?j5,4?j3,5?j6,3?j,?7?j2} (b) {h[n]}?{?2?j5,4?j3,5?j6,3?j,?7?j2}

*解:(a) {h[?n]}?{?7?j2,3?j,5?j6,4?j3,?2?j5}

Hcs[n]?0.5*(h[n]?h*[?n])?{?4.5?j1.5,3.5?j2,?5,3.5?j2,?4.5?j1.5}

Hca[n]?0.5*(h[n]?h*[?n])?{?2.5?j3.5,0.5?j,?j,?0.5?j,?2.5?j3.5}

(b)h[N?n]?{?2?j5,?7?j2,3?j,5?j6,?4?j3} *Hpcs[n]?0.5*(h[n]?h*[N?n])?{?2,?1.5?j2.5,?4?j2.5,?4?j2.5,?1.5?j2.5} Hpca[n]?0.5*(h[n]?h*[N?n])?{j5,?5.5?j0.5,?1?j3.5,?1?j3.5,?5.5?j0.5}

2. (8分) 下式给出系统的输入与输出关系,判断它是线性的还是非线性的,移位不变还是移位变化的,稳定还是不稳定的,因果的还是非因果的。

y[n]?x[n]?x[?n]

解: (a) 令:对应输入x1[n]的输出为y1[n],对应输入x2[n]的输出为y2[n],对应输入x[n]=x1[n]+x2[n]的输出为y[n],则有

y1[n]?x1[n]?x1[?n] y2[n]?x2[n]?x2[?n]

y[n]?x[n]?x[?n]?(x1[n]?x2[n])?(x1[?n]?x2[?n])

?(x1[n]?x1[?n])?(x2[n]?x2[?n])?y1[n]?y2[n] 所以此系统为线性系统。

14

(b)

(b) 设对应x[n]的输出为y[n],对应输入x1[n]=x[n-n0]的输出为y1[n],则

y1[n]?x1[n]?x1[?n]?x[n?n0]?x[?(n?n0)]?x[n?n0]?x[?n?n0] y[n]?x[n]?x[?n] y[n?n0]?x[n?n0]?x[?n?n0] y[n?n0]?y1[n]

此系统为移位变化系统。 (c )假设x[n]?B,则有

y[n]?x[n]?x[?n]?x[n]?x[?n]?2B 所以此系统为BIBO稳定系统。 (d)此系统为非因果系统。

3. (6分) 确定下列序列的平均功率和能量

能量为:

?5?x[n]???u[?n]?3?

2n?0n?x?

n???n????功率为:

52nn???5?2nn???32n1x[n]??()??()??()??25/163351?9/25n???n?0n?0

1n??k1n?052n1n??k5?2n2px?limx[n]?lim()?lim()???k??2k?1k??2k?1k??2k?13n??kn??kn?03

1n??k9n11??9/25?px?lim()?lim?0?k??2k?1k??2k?11?9/25n?025

4.(6分)已知x[n](0?n?N?1)为长度为N(N为偶数)的序列,其DFT变换为X[k]

(3) (1) 用X[k]表示序列v[n]?x[?n?3?N]的DFT变换

k?1(4) (2) 如果x[n]??(0?n?N?1),求其N点DFT。 解:(1)V[k]?WNX[k]?eN?1n?0n3k?j6?k/NX[k]

N?1n?0(2)

nknkX[k]??x[n]WN???nWN???Wn?0N?1?knN?k1??WN?k1??WN??N

5.. (8分)确定下列数字滤波器结构的传输函数 V[z] X(z) k2

-k1 -k2 Z-1

15 H(z)?Y(z)X(z)

Z-1 a1 a2 Y(z)

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