?1?1?1X[z]?kz(?kV(z)?zV(z))?kzV(z)?V(z) 122解：
1V(z)?X(z)?1?21?(k?kk)z?kz2121 则 ?1?1?1(z?k)V(z)?z??zV(z)?Y(z) 212又
?1?2则有Y[z]?[(?2?k2?1)z??1z]V(z)
(?2?k2?1)z?1??1z?2?X{z}1?(k2?k1k2)z?1?k1z?2
6．(10分)以以下形式实现传输函数为
H(z)?(1?0.7z?1)5?1?3.5z?1?4.9z?2?3.43z?3?1.2005z?4?0.16807z?5
的FIR系统结构。
(2) (1) 直接形式
(2) 一个一阶系统，两个二阶系统的级联。
x[n]
解：(1)
z-1 -3.5 z-1 4.9 z-1 -3.43 z-1 1.2005 z-1 -0.16807
1 y[n]
?15?1?1?2?1?2H(z)?(1?0.7z)?(1?0.7z)(1?1.4z?0.49z)(1?1.4z?0.49z) (2)
y[n]
x[n] z-1 z-1 z-1 -1.4 -1.4 -0.7 z-1 z-1 0.49 0.49
7. (10分)低通滤波器的技术指标为：
0???0.3?
H(ej?)?0.01 0.35?????
用窗函数法设计满足这些技术指标的线性相位FIR滤波器。
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0.99?H(ej?)?1.01
解：用窗函数法设计的低通滤波器，其通带、阻带内有相同的波动幅度。由于滤波器技术指标中的通带、、阻带波动相同，所以我们仅需要考虑阻带波动要求。阻带衰减为20log(0.01)=-40dB，我们可以采用汉宁窗，虽然也可以采用汉明窗或布莱克曼窗，但是阻带衰减增大的同时，过渡带的宽度也会增加，技术指标要求过渡带的宽度为
????s??p?0.05?。由于 M??= 3.11?,
2?n??0.5?0.5cos()?M?n?Mw[n]??3.11?2M?1M??52?0其它?0.05?所以：， 且：
?，所以滤波器为： 一个理想低通滤波器的截止频率为?c?(?s??p)/2?0.325
ht[n]?hd[n?M]w[n?M]?sin(?c(n?M))w[n?M]?(n?M) ，0?n?2M
8．(20分)用双线性变换法设计一个离散时间巴特沃兹(Butterworth)高通滤波器，通带内等波纹，且
0.0?H(ej?)?0.1 0???0.1? 0.9?H(ej?)?1.0 0.3?????。
解： 我们可以用两种方法设计离散时间高通滤波器。我们可以设计一个巴特沃兹模拟低通滤波器，然后用双线性变换映射为巴特沃兹低通滤波器，再在z域进行低通到高通的转换。另一种方法是在双线性变换前就在s平面域进行低通到高通的转换，然后用双线性变换将模拟高通滤波器映射为离散时间高通滤波器。两种方法会得到同样的设计结果。我们采用第二种方法，更容易计算。
我们要设计一个高通滤波器，阻带截止频率为?c?0.1?，通带截止频率为?p?0.3?，
12且A=1/0.1=10, 1??先将数字滤波器的技术指标转换到连续时间域。Ts=2, 且
?0.9???199= 0.4843
??tan(有：
?)2
?s?tan(?s22)?tan(0.05?)?0.1584
?将这些高通滤波器的截止频率为映射为低通滤波器的截止频率，我们有 用变换s?1/s?p?tan(?p
)?tan(0.15?)?0.5095
所以模拟滤波器的选择因子(transition ratio or electivity parameter)为
ss??1/??1/0.5095?1.9627?pp ??1/??1/0.1584?6.3138???pk??0.3109??s
判别因子(discrimination parameter)为：
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k1??A?12?0.04867
因此，所需的巴特沃兹滤波器的阶数为：
N?
我们取N=3, 则
log10(1/k1)?2.59log(1/k)
?2N???2ss?()?A?1??c??2.1509 ?c????ps?????c2.1509， 我们可取 0.7853 如取?c?2.5，则所求得的低通巴特沃兹滤波器为： 1?)?Ha(s?)3?2(s?)2?2(s?)?1?/??/??/?(sccc
11?)?Ha(s??/2.5)3?2(s?/2.5)2?2(s?/2.5)?10.064s?3?0.32s?2?0.8s??1 (s
????p2Np2?()????c??0.7853 ?c?将低通滤波器转换为高通滤波器： 用低通到高通的转换关系s?1/ss3Ha(s)?0.064?0.32s?0.8s2?s3
1?z?1s?1?z?1最后采用双线性变换
H(z)?Ha(s)s?1?z?1
1?z?11?z?13()?11?z??11?z1?z?121?z?130.064?0.32?0.8()?()1?z?11?z?11?z?1?
9.（10分））信号y[n]包含一个原始信号x[n]和两个回波信号： y[n]=x[n]+0.5x[n-nd]+0.25x[n-2nd]
求一个能从y[n]恢复x[n]的可实现滤波器．
解：因为X(z) 与Y(z)的关系如下：
?0.456z?3(1?z?1)3?2.072z?2?3.288z?1?2.184
?0.25z)X(z) Y(z)?(1?0.5z以y[n]为输入，x[n]为输出的系统函数为：
?nd?2ndG(z)?11?0.5z?nd?0.25z?2nd
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d 注意到：G(z)?F(z)，且 F(z)的极点在：
nF(z)?11?0.5z?1?0.25z?2
z??0.25(1?j3)
它在单位圆内半径为r=0.5处，所以G(z)的极点在单位圆内r'?(0.5)实现的。
?nd处，所以G(z)是可
z?1?a*H(z)?1?az?1， 这里a?1 10 (14分))一个线性移不变系统的系统函数为
(a) 求实现这个系统的差分方程
(b) 证明这个系统是一个全通系统（即频率响应的幅值为常数的系统）
(c) H(z)和一个系统G(z)级联，以使整个系统函数为1，如果G(z)是一个稳定系统，求单位采样响应 g(n)。
Y(z)z?1?a*H(z)??X(z)1?az?1 解：(a)
?1?1* Y(z)(1?az)?X(z)(z?a)
对方程的两边进行反z变换：
*y[n]?ay[n?1]?x[n?1]?ax[n]
e?j??a*j?H(e)?1?ae?j? (b)频率响应为：
所以幅值的平方为：
(*ej?)e?j??a*ej??a1?a?2Reaj?j?*j?H(e)?H(e)H(e)???1?j?*j?2*j?1?ae1?ae1?a?2Rea(e)
22所以系统为一个全通滤波器
1?az?111?az?1G(z)??1??**z?aa1?(a*z)?1 ?
*a?1，极点在单位圆外。所
此系统在z?1/a处有一极点，在z?1/a处有一零点。因为
以，如果 g[n]是稳定的，收敛域一定为z?1/a。因而g[n]是左边序列。 g[n]?(a)*?n?1u[?n?1]?a(a*)?(n?1)u[?n]
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