1. 2.1任意角的三角函数
【教学目标】
（1）掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义（包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号）； （2）理解任意角的三角函数不同的定义方法；
（3）了解如何利用与单位圆有关的有向线段，将任意角α的正弦、余弦、正切函数值分别用正弦线、余弦线、正切线表示出来；
（4）掌握并能初步运用公式一；
（5）树立映射观点，正确理解三角函数是以实数为自变量的函数. 【教学重难点】
重点: 任意角的正弦、余弦、正切的定义（包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号）；终边相同的角的同一三角函数值相等（公式一）.
难点: 任意角的正弦、余弦、正切的定义（包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号）；三角函数线的正确理解.
【教学过程】 一、【创设情境】
y 提问：锐角O的正弦、余弦、正切怎样表示？
P（a，b） 借助右图直角三角形，复习回顾.
r 引入：锐角三角函数就是以锐角为自变量，以比值为函数值的函数。 ? 数,你能用直角坐标系中角的终边上点的坐标来表示锐角三角函数吗? O M 如图,设锐角?的顶点与原点O重合,始边与x轴的正半轴重合,那 么它的终边在第一象限.在?的终边上任取一点
y P(x,y) P(a,b),它与
足为M,则线
a的终边 原点的距离r?a2?b2?0.过P作x轴的垂线,垂段OM的长度为a,线段MP的长度为b.则
sin??MPb?; OPrOMaMPbcos???; tan???.
OPrOMa思考：对于确定的角?，这三个比值是否会随点
O x P在?的终边
上的位置的改变而改变呢？
显然，我们可以将点取在使线段OP的长r?1的特殊位置上，这样就可以得到用直角坐标系内的点的坐标表示锐角三角函数：
MPOMMPb?b; cos???a; tan???. OPOPOMa思考：上述锐角?的三角函数值可以用终边上一点的坐标表示.那么,角的概念推广以后，我们应该如何对sin??初中的三角函数的定义进行修改，以利推广到任意角呢？本节课就研究这个问题――任意角的三角函数.
二、【探究新知】
1.探究:结合上述锐角?的三角函数值的求法,我们应如何求解任意角的三角函数值呢?
显然,我们只需在角的终边上找到一个点,使这个点到原点的距离为1,然后就可以类似锐角求得该角的三角函数值了.所以,我们在此引入单位圆的定义:在直角坐标系中,我们称以原点O为圆心,以单位长度为半径的圆.
2.思考:如何利用单位圆定义任意角的三角函数的定义?
如图,设?是一个任意角,它的终边与单位圆交于点P(x,y),那么: (1)y叫做?的正弦(sine),记做sin?,即sin??y； （2）x叫做?的余弦(cossine),记做cos?,即cos??x；
（3）
yy叫做?的正切(tangent),记做tan?,即tan??(x?0).
xx注意:当α是锐角时，此定义与初中定义相同（指出对边，邻边，斜边所在）；当α不是锐角时，也能够找出三角函数，因为，既然有角，就必然有终边，终边就必然与单位圆有交点P(x,y)，从而就必然能够最终算出三角函数值.
3.思考:如果知道角终边上一点,而这个点不是终边与单位圆的交点,该如何求它的三角函数值呢?
前面我们已经知道,三角函数的值与点P在终边上的位置无关，仅与角的大小有关.我们只需计算点到原点的距离r?x2?y2,那么sin??yx?y22,cos??xx?y22,
tan??y.所以，三角函数是以为自变量,以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，又因为角的集合x与实数集之间可以建立一一对应关系，故三角函数也可以看成实数为自变量的函数.
4.探究:请根据任意角的三角函数定义,将正弦、余弦和正切函数的定义域填入下表；再将这三种函数的值在各个象限的符号填入表格中： 定义域 三角函数 角度制 弧度制 第一象限 第二象限 第三象限 第四象限 sin? cos? tan? 5.思考:根据三角函数的定义,终边相同的角的同一三角函数值有和关系? 终边相同的角的同一三角函数值相等.即有公式一:
sin(??2k?)?sin?
cos(??2k?)?cos? (其中k?Z) tan(??2k?)?tan?
6.三角函数线
设任意角?的顶点在原点O，始边与x轴非负半轴重合，终边与单位圆相交与点
P(x,y)，过P作x轴的垂线，垂足为M；过点A(1,0)作单位圆的切线，它与角?的终边或其反向延长
线交与点T.
y P M y P A x T （Ⅱ） T o y A o M x （Ⅰ） T A y M A x M o x o P P T
（Ⅲ）
（Ⅳ）
由四个图看出：
当角?的终边不在坐标轴上时，有向线段OM?x,MP?y，于是有
sin??yyxxyMPAT??y?MP cos????x?OMOM tan?????AT r1r1xOMOA我们就分别称有向线段MP,OM,AT为正弦线、余弦线、正切线。
我们把这三条与单位圆有关的有向线段MP、OM、AT,分别叫做角?的正弦线、余弦线、正切线，统称
为三角函数线.
7.例题讲解
例1．已知角α的终边经过点P(2,?3)，求α的三个函数制值。
解：
P(2,?3)?r?4?9?13 ?sin???33??13 131322?33?13 tan????
221313 cos????变式训练1：已知角的终边过点P0(?3,?4)，求角的正弦、余弦和正切值.
解：sin??y4x3y4??,cos????,tan???. r5r5x3
例2．求下列各角的三个三角函数值：
（1）0； （2）?； （3） 解：（1）sin0=0 cos0=1 tan0=0 （2）sin??0,cos???1,tan??0
3?． 23?3???1,cos?022 5?求的正弦、余弦和正切值. 变式训练2：3 （3）sin
例3．已知角α的终边过点(a,2a)(a?0)，求α的三个三角函数值. 解析：计算点到原点的距离时应该讨论a的正负. 变式训练3： 求函数y?cosxcosx?tanx的值域. tanx解析：分四个象限讨论. 答案：{2，-2，0}
例4．.利用三角函数线比较下列各组数的大小： 1.sin
三、【学习小结】
(1)本章的三角函数定义与初中时的定义有何异同? (2)你能准确判断三角函数值在各象限内的符号吗?
2?4?2?4?与sin 2.tan与tan 3535