第三章 习题解答（仅供参考）
3．2 一根直杆在S系中观察，其静止长度为l，与x轴的夹角为θ，S`系沿S系的x轴正向以速度v运动，问S`系中观察到杆子与x`轴的夹角若何？
[解答]直杆在S系中的长度是本征长度，两个方向上的长度分别为 lx = lcosθ和ly = lsinθ．
在S`系中观察直杆在y方向上的长度不变，即l`y = ly；在x方向上的长度是运动长度，根据尺缩效应得
`lx?lx1?(v/c)2，
因此 tan?`?`ly`lx?tan?1?(v/c)2，
2?1/2可得夹角为 ?`?arctan?{[1vc(/)]? tan}
3．3 在惯性系S中同一地点发生的两事件A和B，B晚于A4s；在另一惯性系S`中观察，B晚于A5s发生，求S`系中A和B两事件的空间距离？
[解答]在S系中的两事件A和B在同一地点发生，时间差Δt = 4s是本征时，而S`系中观察A和B两事件肯定不在同一地点，Δt` = 5s是运动时，根据时间膨胀公式
?t`??t1?(v/c)42，
即 5?1?(v/c)2， 可以求两系统的相对速度为 v = 3c/5．
在S`系中A和B两事件的空间距离为 Δl = vΔt` = 3c = 9×108(m)．
3．5 S系中观察到两事件同时发生在x轴上，其间距为1m，S`系中观察到这两个事件间距离是2m，求在S`系中这两个事件的时间间隔．
[解答]根据洛仑兹变换，得两个事件的空间和时间间隔公式
?x`??x?v?t1?(v/c)?x1?(v/c)22， ?t`??t??xv/c21?(v/c)2． （1）
由题意得：Δt = 0，Δx = 1m，Δx` = 2m．因此
?x`?， ?t`???xv/c21?(v/c)2．（2）
2由（2）之上式得它们的相对速度为 v?c1?(?x/?x`)． （3）
将（2）之下式除以（2）之上式得
?t`v??2， ?x`c1?x`?x2??(?x`)2?(?x)2= -0.577×10-8(s)． 所以 ?t`??1?()cc?x`[注意]在S`系中观察到两事件不是同时发生的，所以间隔Δx` = 2m可以大于间隔Δx = 1m．如果在S`系中观察到两事件也是同时发生的，那么Δx`就表示运动长度，就不可能大于
2本征长度Δx，这时可以用长度收缩公式?x`??x1?(v/c)，计算它们的相对速度．
3．6 一短跑运动员，在地球上以10s的时间跑完了100m的距离，在对地飞行速度为0.8c的飞船上观察，结果如何？
[解答]以地球为S系，则Δt = 10s，Δx = 100m．根据洛仑兹坐标和时间变换公式
x`?x?vt1?(v/c)2和t`?t?vx/c21?(v/c)2，
飞船上观察运动员的运动距离为 ?x`??x?v?t1?(v/c2)?100?0.c?81?0.28≈-4×109(m)．
10?t?v?x/2c10?0.?810c0/?运动员运动的时间为 ?t`?≈16.67(s)． 20.61?(v/c)在飞船上看，地球以0.8c的速度后退，后退时间约为16.67s；运动员的速度远小于
地球后退的速度，所以运动员跑步的距离约为地球后退的距离，即4×109m．
3．8 已知S`系以0.8c的速度沿S系x轴正向运动，在S系中测得两事件的时空坐标为x1 = 20m，x2 = 40m，t1 = 4s，t2 = 8s．求S`系中测得的这两件事的时间和空间间隔．
[解答]根据洛仑兹变换可得S`系的时间间隔为
t?t?`2`1t2?t1?v(x2?x1)/c21?(v/c)2
?8?4?0.8(40?20)/c≈6.67(s)．
0.6空间间隔为
`x2?x1`?x2?x1?v(t2?t1)1?(v/c)2 ?40?20?0.8c?(8?4)≈-1.6×109(m)．
0.6 3．11 一粒子动能等于其非相对论动能二倍时，其速度为多少？其动量是按非相对论算得的二倍时，其速度是多少？
[解答]（1）粒子的非相对论动能为 Ek = m0v2/2，相对论动能为 E`k = mc2 – m0c2， 其中m为运动质量 m?根据题意得
m01?(vc/)2．
m0c21?(v/c)2?m0c2?m0v2， 设x = (v/c)2，方程可简化为
1?1?x， 1?x或 1?(1?x)?1x， 平方得 1 = (1 – x2)(1 - x)， 化简得 x(x2 – x -1) = 0．
由于x不等于0，所以 x2 – x -1 = 0． 解得 x?1?5， 2取正根得速率为 v?c1?5= 0.786c． 2m0v1?(v/c)2（2）粒子的非相对论动量为 p = m0v， 相对论动量为 p`?mv?，
根据题意得方程
m0v1?(v/c)2?2m0v．
很容易解得速率为 v?3c= 0.866c． 2
3．12．某快速运动的粒子，其动能为4.8×10-16J，该粒子静止时的总能量为1.6×10-17J，若该粒子的固有寿命为2.6×10-6s，求其能通过的距离．
[解答]在相对论能量关系中
E = E0 + Ek， 静止能量E0已知，且E0 = m0c，总能量为 E?mc?2
2m0c21?(v/c)2?E01?(v/c)2，
所以
11?(v/c2)?E0?Ek， E0E?Ek． ??t`02E01?(v/c)?t`由此得粒子的运动时为 ?t?还可得
1?(v/c2)?E0，
E0?Ek解得速率为 v?c1?(E02)．
E0?Ek