专训3 等腰三角形中四种常用作辅助线的方法
名师点金：几何图形中添加辅助线，往往能把分散的条件集中，使隐蔽的条件显露，将复杂的问题简单化，例如：作“三线”中的“一线”，作平行线构造等腰(边)三角形，利用截长补短法证线段和、差关系或求角的度数，利用加倍折半法证线段的倍分关系．
作“三线”中的“一线”
1．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，过点A作EF∥BC，且AE＝AF，求证：DE＝DF、
(第1题)
作平行线法
2．如图，在△ABC中，AB＝AC，点P从点B出发沿线段BA移动，同时，点Q从点C出发沿线段AC的延长线移动，点P，Q移动的速度相同，P，Q与直线BC相交于点D、
(1)如图①，求证：PD＝QD；
(2)如图②，过点P作直线BC的垂线，垂足为E，当P，Q在移动的过程中，线段BE，DE，CD中是否存在长度保持不变的线段？请说明理由．
(第2题)
截长(补短)法
3．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是△ABC外一点，且∠ABD＝60°，∠ACD＝60°、求证：BD＋DC＝AB、
(第3题)
加倍折半法
4．如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AD⊥BC于D，且AB＋BD＝DC，求∠C的度数．
(第4题)
参考答案
1．证明：如图，连接AD、∵AB＝AC，BD＝CD，∴AD⊥BC、∵EF∥BC，∴AD⊥EF、
又∵AE＝AF，∴AD垂直平分EF、 ∴DE＝DF、
(第1题)
2．(1)证明：如图①，过点P作PF∥AC交BC于F、 ∵点P和点Q同时出发，且速度相同，∴BP＝CQ、 ∵PF∥AQ，∴∠PFB＝∠ACB，∠DPF＝∠CQD、 又∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB、
∴∠B＝∠PFB、∴BP＝PF、∴PF＝CQ、
在△PFD和△QCD中，∠DPF＝∠DQC，∠PDF＝∠QDC，PF＝CQ，∴△PFD≌△QCD(AAS)，∴PD＝QD、
(2)解：ED的长度保持不变．理由如下：如图②，过点P作PF∥AC交BC于F、由(1)知PB＝PF、∵PE⊥BF，∴BE＝EF、由(1)知△PFD≌△QCD，∴FD＝CD，∴ED＝EF＋1
FD＝BE＋CD＝BC，∴ED为定值．
2
(第2题)
3．证明：如图，延长BD至E，使BE＝AB，连接CE，AE、 ∵∠ABE＝60°，BE＝AB， ∴△ABE为等边三角形．
∴∠AEB＝60°、又∵∠ACD＝60°， ∴∠ACD＝∠AEB、
∵AB＝AC，AB＝AE，∴AC＝AE、 ∴∠ACE＝∠AEC、
∴∠DCE＝∠DEC、∴DC＝DE、
∴AB＝BE＝BD＋DE＝BD＋CD，即BD＋DC＝AB、