2020高中数学 第二章 2.4的数量积 2.4.1数量积的物理背景及其含义学案 新人教A版必修4

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2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义

[A级 基础巩固]

一、选择题

1.在△ABC中,设AB=a,BC=b,且|a|=2,|b|=1,a·b=-1,则|AC|=( ) A.1 B.2 C.3 D.7

解析:因为|AC|=|AB+BC|,所以|AC|=答案:C

2.设向量a,b满足|a+b|=10,|a-b|=6,则a·b=( ) A.1 B.2 C.3 D.5

解析:因为|a+b|=(a+b)=a+b+2a·b=10,|a-b|=(a-b)=a+b-2a·b=6,两式相减得:4a·b=4,所以a·b=1.

答案:A

3.已知向量a,b满足|a|=2,|b|=1,a·b=1,则向量a与a-b的夹角为( ) A.

ππ5π2π

B. C. D. 6363

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

→→

|AB+BC|

2

=a+2a·b+b=3,选C.

22

解析:|a-b|= (a-b)= a+b-2a·b=3,设向量a与a-b的夹角为θ,则

a·(a-b)22-13cos θ===,

|a||a-b|2×32

又θ∈[0,π],所以θ=答案:A

A.矩形 C.直角梯形

→→

答案:B

5.若向量a与b的夹角为60°,|b|=4,且(a+2b)·(a-3b)=-72,则a的模为( ) A.2 B.4 C.6 D.12 解析:因为(a+2b)·(a-3b)=a-a·b=6b= |a|-|a|·|b|cos 60°-6|b|= |a|-2|a|-96=-72,

22

22

2

π. 6

→→→

4.在四边形ABCD中,AB=DC,且AC·BD=0,则四边形ABCD是( )

B.菱形 D.等腰梯形

→→

解析:因为AB=DC,即一组对边平行且相等,AC·BD=0,即对角线互相垂直,所以四边形ABCD为菱形.

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所以|a|-2|a|-24=0,所以|a|=6. 答案:C 二、填空题

π

6.在等腰△ABC中,AB=AC=2,∠ACB=,D是BC的中点,则BA在CD方向上的正射影数量是________.

6

→→

2

→→

π5π

解析:如图所示,作向量BE=CD,则BA与CD的夹角为∠ABE=π-=,所以BA在CD方向上的正射影的数

665π3??

量为|BA|·cos=2×?-?=-3.

6?2?

答案:-3

7.如图,在四边形ABCD中,|AC|=4,BA·BC=12,E为AC的中点,若BE=2ED,则DA·DC=________. →

→→

2

→→

→→

2

→→→→→

2

2

2

2

解析:因为|AC|=4,E是AC的中点,所以AE=CE=2.BA·BC=(BE+EA)·(BE+EC)=BE-AE=BE-2=

2

2

12?BE=16?DE=4,所以DA·DC=(DE+EA)·(DE+EC)=DE-AE=4-4=0.

答案:0

8.已知|a|=|b|=|c|=1,且满足3a+m b+7c=0,其中a与b的夹角为60°,则实数m=________. 解析:因为3a+m b+7c=0,所以3a+m b=-7c, 所以(3a+m b)2=(-7c)2,化简得9+m2+6m a·b=49. 1

又a·b=|a| |b|cos 60°=,

2

所以m2+3m-40=0,解得m=5或m=-8. 答案:-8或5 三、解答题

9.已知|a|=1,|b|=2, (1)若a∥b且同向,求a·b;

(2)若向量a·b的夹角为135°,求|a+b|.

解:(1)若a∥b且同向则a与b夹角为0°,此时a·b=|a||b|=2. (2)|a+b|= (a+b)= a+b+2a·b= 1+2+22cos 135°=1.

22210.设向量a,b满足|a|=|b|=1,|3a-b|=5. (1)求|a+3b|的值;

(2)求3a-b与a+3b夹角的正弦值. 解:(1)由|3a-b|=5,得(3a-b)2

=5, 所以9a2

-6a·b+b2

=5. 因为a2

=|a|2

=1,b2

=|b2

|=1, 所以9-6a·b+1=5. 所以a·b=5

6

. 所以(a+3b)2

=a2

+6a·b+9b2

= 1+6×5

6+9×1=15.

所以|a+3b|=15.

(2)设3a-b与a+3b的夹角为θ. 因为(3a-b)·(a+3b)=3a2

+8a·b-3b2

= 3×1+8×520

6-3×1=3

. 20

所以cos θ=(3a-b)·(a+3b)3

4|3a-b||a+3b|=5×15=3

9. 因为0°≤θ ≤180°, 所以sin θ= 1-cos2

θ=

?43?2

1-?33?9??=9. 所以3a-b与a+3b夹角的正弦值为

339

. B级 能力提升

→→→→→→

1.点O是△ABC所在平面上一点,且满足OA·OB=OB·OC=OA·OC,则点O是△ABC的( A.重心 B.垂心 C.内心

D.外心

→→→→

解析:因为OA·OB=OB·OC, →→→

所以OB·(OA-OC)=0, →→→→即OB·CA=0, 则OB⊥CA. →→→→同理OA⊥BC,OC⊥AB. 所以O是△ABC的垂心. 答案:B

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