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2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义
[A级 基础巩固]
一、选择题
→
→
→
1．在△ABC中，设AB＝a，BC＝b，且|a|＝2，|b|＝1，a·b＝－1，则|AC|＝( ) A．1 B.2 C.3 D.7
→
→
→
→
解析：因为|AC|＝|AB＋BC|，所以|AC|＝答案：C
2．设向量a，b满足|a＋b|＝10，|a－b|＝6，则a·b＝( ) A．1 B．2 C．3 D．5
解析：因为|a＋b|＝(a＋b)＝a＋b＋2a·b＝10，|a－b|＝(a－b)＝a＋b－2a·b＝6，两式相减得：4a·b＝4，所以a·b＝1.
答案：A
3．已知向量a，b满足|a|＝2，|b|＝1，a·b＝1，则向量a与a－b的夹角为( ) A.
ππ5π2π
B. C. D. 6363
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
→→
|AB＋BC|
2
＝a＋2a·b＋b＝3，选C.
22
解析：|a－b|＝ （a－b）＝ a＋b－2a·b＝3，设向量a与a－b的夹角为θ，则
a·（a－b）22－13cos θ＝＝＝，
|a||a－b|2×32
又θ∈[0，π]，所以θ＝答案：A
→
A．矩形 C．直角梯形
→→
答案：B
5．若向量a与b的夹角为60°，|b|＝4，且(a＋2b)·(a－3b)＝－72，则a的模为( ) A．2 B．4 C．6 D．12 解析：因为(a＋2b)·(a－3b)＝a－a·b＝6b＝ |a|－|a|·|b|cos 60°－6|b|＝ |a|－2|a|－96＝－72，
22
22
2
π. 6
→→→
4．在四边形ABCD中，AB＝DC，且AC·BD＝0，则四边形ABCD是( )
B．菱形 D．等腰梯形
→→
解析：因为AB＝DC，即一组对边平行且相等，AC·BD＝0，即对角线互相垂直，所以四边形ABCD为菱形．
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所以|a|－2|a|－24＝0，所以|a|＝6. 答案：C 二、填空题
π
6．在等腰△ABC中，AB＝AC＝2，∠ACB＝，D是BC的中点，则BA在CD方向上的正射影数量是________．
6
→→
2
→→
π5π
解析：如图所示，作向量BE＝CD，则BA与CD的夹角为∠ABE＝π－＝，所以BA在CD方向上的正射影的数
665π3??
量为|BA|·cos＝2×?－?＝－3.
6?2?
答案：－3
→
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→
→
→
→
7．如图，在四边形ABCD中，|AC|＝4，BA·BC＝12，E为AC的中点，若BE＝2ED，则DA·DC＝________． →
→
→
→→
→
→
2
→→
→
→
→
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→→
→
2
→→→→→
2
→
2
→
2
2
解析：因为|AC|＝4，E是AC的中点，所以AE＝CE＝2.BA·BC＝(BE＋EA)·(BE＋EC)＝BE－AE＝BE－2＝
→
2
→
2
12?BE＝16?DE＝4，所以DA·DC＝(DE＋EA)·(DE＋EC)＝DE－AE＝4－4＝0.
答案：0
8．已知|a|＝|b|＝|c|＝1，且满足3a＋m b＋7c＝0，其中a与b的夹角为60°，则实数m＝________． 解析：因为3a＋m b＋7c＝0，所以3a＋m b＝－7c， 所以(3a＋m b)2＝(－7c)2，化简得9＋m2＋6m a·b＝49. 1
又a·b＝|a| |b|cos 60°＝，
2
所以m2＋3m－40＝0，解得m＝5或m＝－8. 答案：－8或5 三、解答题
9．已知|a|＝1，|b|＝2， (1)若a∥b且同向，求a·b；
(2)若向量a·b的夹角为135°，求|a＋b|.
解：(1)若a∥b且同向则a与b夹角为0°，此时a·b＝|a||b|＝2. (2)|a＋b|＝ （a＋b）＝ a＋b＋2a·b＝ 1＋2＋22cos 135°＝1.
22210．设向量a，b满足|a|＝|b|＝1，|3a－b|＝5. (1)求|a＋3b|的值；
(2)求3a－b与a＋3b夹角的正弦值． 解：(1)由|3a－b|＝5，得(3a－b)2
＝5， 所以9a2
－6a·b＋b2
＝5. 因为a2
＝|a|2
＝1，b2
＝|b2
|＝1， 所以9－6a·b＋1＝5. 所以a·b＝5
6
. 所以(a＋3b)2
＝a2
＋6a·b＋9b2
＝ 1＋6×5
6＋9×1＝15.
所以|a＋3b|＝15.
(2)设3a－b与a＋3b的夹角为θ. 因为(3a－b)·(a＋3b)＝3a2
＋8a·b－3b2
＝ 3×1＋8×520
6－3×1＝3
. 20
所以cos θ＝（3a－b）·（a＋3b）3
4|3a－b||a＋3b|＝5×15＝3
9. 因为0°≤θ ≤180°， 所以sin θ＝ 1－cos2
θ＝
?43?2
1－?33?9??＝9. 所以3a－b与a＋3b夹角的正弦值为
339
. B级 能力提升
→→→→→→
1．点O是△ABC所在平面上一点，且满足OA·OB＝OB·OC＝OA·OC，则点O是△ABC的( A．重心 B．垂心 C．内心
D．外心
→→→→
解析：因为OA·OB＝OB·OC， →→→
所以OB·(OA－OC)＝0， →→→→即OB·CA＝0, 则OB⊥CA. →→→→同理OA⊥BC，OC⊥AB. 所以O是△ABC的垂心． 答案：B
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