勾股定理逆定理（提高）
【学习目标】
1. 掌握勾股定理的逆定理及其应用．理解原命题与其逆命题，原定理与其逆定理的概念及它们之间的关系．
2. 能利用勾股定理的逆定理，由三边之长判断一个三角形是否是直角三角形. 3. 能够理解勾股定理及逆定理的区别与联系，掌握它们的应用范围. 4. 掌握两点间的距离公式，并能应用. 【要点梳理】
要点一、勾股定理的逆定理
如果三角形的三条边长a，b，c，满足a?b?c，那么这个三角形是直角三角形. 要点诠释：（1）勾股定理的逆定理的作用是判定某一个三角形是否是直角三角形. （2）勾股定理的逆定理是把“数”转为“形”，是通过计算来判定一个三角
形是否为直角三角形.
要点二、如何判定一个三角形是否是直角三角形
（1） 首先确定最大边（如c）.
（2） 验证c与a?b是否具有相等关系.若c?a?b，则△ABC是∠C=90°的直
角三角形；若c?a?b，则△ABC不是直角三角形.
要点诠释：当a?b?c时，此三角形为钝角三角形；当a?b?c时，此三角形为锐角三角形，其中c为三角形的最大边. 要点三、勾股数
满足不定方程x?y?z的三个正整数，称为勾股数（又称为高数或毕达哥拉斯数），显然，以x、y、z为三边长的三角形一定是直角三角形.
熟悉下列勾股数，对解题会很有帮助：
① 3、4、5； ②5、12、13；③8、15、17；④7、24、25；⑤9、40、41……
如果(a、b、c)是勾股数，当t为正整数时，以at、bt、ct为三角形的三边长，此三角形必为直角三角形.
要点诠释：（1）n?1，2n，n?1（n?1,n是自然数）是直角三角形的三条边长； （2）2n?2n,2n?1,2n?2n?1（n是自然数）是直角三角形的三条边
长；
（3）m?n,m?n,2mn （m?n,m、n是自然数）是直角三角形的三条边长； 要点四、两点间的距离公式
在直角坐标平面内，x轴或平行于x轴的直线上的两点A?x1，y?、B ?x2，y?两点的距
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离AB|x1?x2|；y轴或平行于y轴的直线上的两点C?x，y1?、D?x，y2?的距离CD?|y1?y2|.
两点间的距离公式：如果直角坐标系内有两点A?x1，y1?、B ?x2，y2?，那么A、的B两点的距离AB??x1?x2???y1?y2?22.
要点诠释：当A?x1，y1?、B ?x2，y2?同在x轴或平行于x轴的直线上时，y1?y2；当A、B同在y轴或平行于y轴的直线上时，x1?x2. 【典型例题】
类型一、勾股定理逆定理的应用
1、如图所示，四边形ABCD中，AB⊥AD，AB＝2，AD＝23，CD＝3，BC＝5，求∠ADC的度数．
【答案与解析】
解：∵ AB⊥AD，∴ ∠A＝90°，
在Rt△ABD中，BD2?AB2?AD2?22?(23)2?16． ∴ BD＝4， ∴ AB?1BD，可知∠ADB＝30°， 222222在△BDC中，BD?CD?16?3?25，BC?5?25， ∴ BD?CD?BC，∴ ∠BDC＝90°， ∴ ∠ADC＝∠ADB+∠BDC＝30°+90°＝120°．
【总结升华】利用勾股定理的逆定理时，条件是三角形的三边长，结论是直角三角形，即由
边的条件得到角的结论，所以在几何题中需要进行边角的转换时要联想勾股定理的逆定理．
举一反三：
【变式】如图所示，在△ABC中，已知∠ACB＝90°，AC＝BC，P是△ABC内一点，且PA＝3，
PB＝1，PC＝CD＝2，CD⊥CP，求∠BPC的度数．
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【答案】
解：连接BD．∵ CD⊥CP，且CD＝CP＝2，
∴ △CPD为等腰直角三角形，即∠CPD＝45°． ∵ ∠ACP+∠BCP＝∠BCP+∠BCD＝90°， ∴ ∠ACP＝∠BCD． ∵ CA＝CB，
∴ △CAP≌△CBD(SAS)， ∴ DB＝PA＝3．
在Rt△CPD中，DP?CP?CD?2?2?8． 又∵ PB＝1，则PB?1． ∵ DB?9，
∴ DB?DP?PB?8?1?9，
∴ △DPB为直角三角形，且∠DPB＝90°， ∴ ∠CPB＝∠CPD+∠DPB＝45°+90°＝135°．
2、如图，P是等边三角形ABC内的一点，连接PA，PB，PC，以BP为边作∠PBQ=60°，且BQ=BP，连接CQ．
（1）观察并猜想AP与CQ 之间的大小关系，并证明你的结论；
（2）若PA：PB：PC=3：4：5，连接PQ，试判断△PQC的形状，并说明理由．
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【答案与解析】
解：（1）猜想：AP=CQ，
证明：∵∠ABP+∠PBC=60°，∠QBC+∠PBC=60°， ∴∠ABP=∠QBC． 又AB=BC，BQ=BP， ∴△ABP≌△CBQ，