习题八
8-1 电量都是q的三个点电荷，分别放在正三角形的三个顶点．试问：(1)在这三角形的中心放一个什么样的电荷，就可以使这四个电荷都达到平衡(即每个电荷受其他三个电荷的库仑力之和都为零)?(2)这种平衡与三角形的边长有无关系? 解: 如题8-1图示
(1) 以A处点电荷为研究对象，由力平衡知：q?为负电荷
221qcos30?1qq?
4π?2?0a4π?0(33a)2解得 q???3 3q (2)与三角形边长无关．
题8-1图 题8-2图
8-2 两小球的质量都是m，都用长为l的细绳挂在同一点，它们带有相同电量，静止时两线夹角为2? ,如题8-2图所示．设小球的半径和线的质
解: 如题8-2图示
??Tcos??mg?
?sin???Fe?1q2T4π?0(2lsin?)2
解得 q?2lsin?4??0mgtan?
8-3 根据点电荷场强公式E?q4??2，当被考察的场点距源点电荷很近
0r(r→0)时，则场强→∞，这是没有物理意义的，对此应如何理解?
解: E??qr?00仅对点电荷成立，当r?时，带电体不能再视为点电
4π?0r2荷，再用上式求场强是错误的，实际带电体有一定形状大小，考虑电荷在带电体上的分布求出的场强不会是无限大．
8-4 在真空中有A，B两平行板，相对距离为d，板面积为S，其带电量分别为+q和-q．则这两板之间有相互作用力f，有人说f=q2,
4??20d又有人说，因为f=qE,，所以f=q2E?q．试问这两种说法对吗?
?0S?0S为什么? f到底应等于多少?
解: 题中的两种说法均不对．第一种说法中把两带电板视为点电荷是不
对的，第二种说法把合场强E?q看成是一个带电板在另一带电板处
?0S的场强也是不对的．正确解答应为一个板的电场为E?q，另一板受
2?0S它的作用力
2f?qq，这是两板间相互作用的电场力．
2??q0S2?0S8-5 一电偶极子的电矩为?p?ql?，场点到偶极子中心O点的距离为r,矢
量r?与l?的夹角为?,(见题8-5图)，且r??l．试证P点的场强E在r方向
上的分量E的分量Epcos?psin?r和垂直于r?分别为Er=2??, E?=3 0r34??0r证: 如题8-5所示，将?p分解为与r?平行的分量psin?和垂直于r?的分量
psin?．
∵ r??l ∴ 场点P在r方向场强分量
Epcos?r?
2π?30r垂直于r方向，即?方向场强分量
Esin?
0?p4π?30r
题8-5图 题8-6图
8-6 长l=15.0cmAB上均匀地分布着线密度?=5.0x10-9C·m-1
(1)在导线的延长线上与导线B端相距a1=5.0cm处P点
的场强；(2)在导线的垂直平分线上与导线中点相距d2=5.0cm 处Q点的
解： 如题8-6图所示
(1)在带电直线上取线元dx，其上电量dq在P点产生场强为
dE1?dx
P?4π?0(a?x)2lE?dE?dxP?P?
4π?0?2?l2(a?x)2??11 4π?[0a?l?l]2a?2??l
π?0(4a2?l2)用l?15cm，??5.0?10?9C?m?1, a?12.5cm代入得
E?6.74?102N?C?1
P方向水平向右
(2)
dE?dxQ?14π?2d2 方向如题8-6图所示 0x?2由于对称性?ldE?0，即E?QxQ只有y分量，
∵ 2dE
Qy?1?dxd4π?20x?d22x2?d22EQy??dEd2?l2dx
lQy?4π?2??l32(x2?d22)2??l
2π?20l?4d22以??5.0?10?9C?cm?1, l?15cm,d2?5cm代入得
EQ?EQy?14.96?102N?C?1，方向沿y轴正向
8-7 一个半径为R的均匀带电半圆环，电荷线密度为?,求环心处O点的场强．
解: 如8-7图在圆上取dl?Rd?
题8-7图
dq??dl?R?d?，它在O点产生场强大小为
dE??Rd?方向沿半径向外
4π?0R2则 dE?dEsin???xπ?sin?d?
40R dEy?dEcos(???)???
4π?cos?d?0R积分E?
x???4π?sin?d???00R2π?0RE???y??04π?Rcos?d??0 0∴ E?E?，方向沿x轴正向．
x?2π?0R8-8 均匀带电的细线弯成正方形，边长为l，总电量为q．(1)求这正方形轴线上离中心为r处的场强E；(2)证明：在r??l处，它相当于点电荷q产生的场强E
解: 如8-8图示，正方形一条边上电荷q4在P点产生物强dE?P方向如图，
大小为
dE??cos?1?cos?2?
P?24π?0r2?l4∵
lcos?
1?2l2r2?2cos?2??cos?1
∴
dE?l
P?4π?20r?l2r24?l22dE?P在垂直于平面上的分量dE??dEPcos? ∴
dE?lr
??24π??l20r2?l24r2r2?l24
题8-8图
由于对称性，P点场强沿OP方向，大小为
E
P?4?dE??4?lr4π?0(r2?l24)r2?l22∵ ??q
4l∴
E 方向沿OP
P?qr24π?20(r?l24)r2?l28-9 (1)点电荷q位于一边长为a的立方体中心，试求在该点电荷电场中穿过立方体的一个面的电通量；(2)如果该场源点电荷移动到该立方体的一个顶点上，这时穿过立方体各面的电通量是多少?*(3)如题8-9(3)
图所示，在点电荷q的电场中取半径为R的圆平面．
q在该平面轴线上的A点处，求：通过圆平面的电通量．(??arctanRx)
解: (1)由高斯定理???qsE?dS??
0立方体六个面，当q在立方体中心时，每个面上电通量相等
∴ 各面电通量?qe?6?．
0(2)电荷在顶点时，将立方体延伸为边长2a的立方体，使q处于边长2a的