共轭梯度法及其基本性质
预备知识
定义1 设
是对称正定矩阵。称
是A-共轭的，是指
性质1 设有是彼此共轭的维向量，即
则一定是线性无关的。
［证明］若有一组数满足
则对一切一定有
注意到是线性无关的． 性质２ 设向量得出一组向量
，由此得出：即所有的＝０．因此，
是线性无关的向量组，则可通过它们的线性组合，而
是两两共轭的．
［证明］我们用构造法来证实上面的结论．
Ｓ０：取；
Ｓ１：令?? Ｓm：令
，取．
取
容易验证：符合性质２的要求．
性质３设从列
出发，逐次沿方向
，满足：
是两两Ａ－共轭的，
搜索求
是任意指定的向量，那么
的极小值，所得序
．
［证明］由下山算法可知，从出发，沿方向搜索，获得
从而
性质４设沿
是两两Ａ共轭的，则从任意指定的
搜索，所得序列
满足：
出发，依次
（１）
（２），其中是方程组(5.1.1)的解．
［证明］（１）是性质３的直接推论，显然成立． （２）由于以对于向量
可用
是两两Ａ共轭的，故
是线性无关的．所
使
线性表出，即存在一组数
由于及，得出
，
于是，再由得出
于是，与得出一样地，我们可以陆续得出：