第一章 概率的基本概念
1.1基本要求
（1）理解排列与组合的概念，熟练掌握排列与组合的相关运算； （2）理解随机事件的基本概念，掌握事件间的基本关系和运算； （3）理解古典概型、几何概率和统计定义，熟练掌握相关的简单运算； （4）理解概率的公理化体系及概率的基本性质和加法定理；
（5）理解事件相互独立性的概念和重复独立试验，熟练掌握相互独立事件和二项概率公式的有关运算。 1.2 疑难注释
（1）排列与组合的区别与联系是什么？
排列是将考察对象排成一列，具有顺序性，顺序不同时所得的排列也不同。而组合是在考察对象中抽出部分个体，与顺序无关。设有n个不同的元素，从中取出m个，获得的所有排列其种数为Pnm。
（2）如何理解可数（列）集？
如果一个集合的元素可以与自然数形成一一对应，则称该集合为可数集合。可数集合未必是有限集。例如：??,?
（3）如何理解差集和余集？
属于A而不属于B的元素形成的集合称为A与B的差集，记作A?B。设考察对象所在的全集为U，则U与A的差集U?A称为A的余集，记作A。从定义可以看出，余集可以在任意两个集合间进行，而差集仅是相对全集而言。 （4）如何理解随机试验？
所谓随机试验是指这样一类试验，可以重复进行，且所有可能的试验结果是已知的，但只有当试验完成时才能确定其试验结果。例如“抛币试验”、“摸球试验”等都是随机试验。 （5）如何理解必然事件和不可能事件？
随机试验中有可能发生也有可能不发生的事件称为随机事件，简称事件。在概率论中更多情况下讨论的是随机事件，但为了使概率知识更具系统性，有时也讨论两个特殊事件。必然发生的事件称为必然事件，不可能发生的事件称为不可能事件。 （6）互斥与互逆的关系怎样？ 设考察的全集为U，
?1??1??等都是可数集。
nn?1????1） 若A?B??，则称A与B互斥；
2） 若A?B??且A?B?U，则称A与B互逆.
从定义可以看出，两事件互逆必互斥，而互斥不一定互逆。 （7）AB与A?B是否相同？A?B与A?B呢？
事件间的关系其记法也较多，AB与A?B相同均表示事件A与事件B的积事件；而
A?B与A?B不同，虽然均表示A与B的和事件，但当且仅当A与B互斥即AB??时，其
和事件方可记为A?B。
（8）如何理解概率定义，各有怎样的优缺点？
概率的定义有三：1）古典概型；2）几何概率；3）统计定义。
古典概型要求所有可能的试验结果个数有限，诸基本事件发生的可能性相等； 几何概率只要求基本事件发生的可能性相等，对试验结果是否有限不作要求；
统计定义表明当试验次数增多时，事件发生的可能性将趋近某一固定值，把这一固定值记为该事件发生的概率。它对基本事件发生的等可能性和试验结果是否有限不作要求，但却不能确定试验到底要做多少次？
（9）条件概率和积事件的概率有何区别和联系？
概率是随机事件发生的可能性的大小，避开事件讨论概率是没有意义的。条件概率P(AB)是指事件B发生的条件下事件A发生的概率，它附加了B发生这一条件进行考察事件A；而
P(AB)考察的对象是A与B的积事件AB。
条件概率和积事件概率之间的联系是乘法定理，即P(AB)?P(AB)，从该定理可以看出：P(B)条件概率一般大于积事件的概率。所以说，条件概率和积事件的概率其区别体现在意义和大小上。
（10）两事件相互独立的定义和实质是什么？
两事件的积事件的概率等于概率乘积时，称两事件相互独立，即P(AB)?P(A)P(B)。两事件相互独立的实质是事件发生互不影响。
（11）两两相互独立和总起来相互独立之间有怎样的联系？
设A1,A2,?,An是事件集A中的n个随机事件，
1） 对任意的i,j，若P(AiAj)?P(Ai)P(Aj)，则称事件集A两两相互独立；
2） 对任意的k?n，若P(A1A2?Ak)?P(A1)P(A2)?P(Ak)，则称事件集A总起来相
互独立。
总起来相互独立?两两相互独立，逆不成立。
（12）应用二项概率公式时应注意哪些问题？
kk二项概率公式Pn(k)?Cn“进行n次重复独立试验事件A恰好发生k次”p(1?p)n?k表示
这一事件发生的概率，其中p为事件A在每次试验中发生的概率。在应用该公式计算概率时，需要注意以下两个问题：
1） 所作的试验是否为重复独立试验； 2） 确定公式中的p在实际问题中的意义。 （13）如何理解小概率事件的实际不可能原理？
小概率事件一般来说发生的可能性较小，但未必就不会发生。在实际问题中，对于小概率事件一般不是解决问题的出发点而已。 1.3方法指导
（1）如何证明两个集合相等？
两个集合相等是指这两个集合具有完全相同的元素，即：
??x?A?x?B?A?B?A?B ???x?B?x?A?B?A（2）如何正确判断事件间的关系？
集合与事件之间具有一定的对应性，集合间的关系可以借助韦恩图表示，事件间的关系与集合间的关系是对应的，因此事件间的关系也可借助韦恩图表示。 1.4例题选讲
（1）随机地向[0,1]区间内投点，令?表示点的坐标，设A??0???求P(AB)。
（2）设A,B,C是任意三个随机事件，则以下命题中正确的是（ ）。 (A)(A?B)?B?A?B；(B)(A?B)?B?A； (C)(A?B)?C?A?(B?C)；(D)A?B?AB?BA。 （3）已知P(A)?P(B)?P(C)???1??1??,B?????1?，2??2?111,P(AB)?P(AC)?P(BC)?,P(ABC)?，则4816A,B,C恰有一个发生的概率为_______。
（4）设两个相互独立的事件A和B都不发生的概率为不发生的概率相等，则P(A)?_______。 1.5参考题目（更高要求）
1，A发生B不发生的概率与B发生A9（1）已知P(A)?0.5,P(B)?0.6,P(BA)?0.8，则P(A?B)?________。
（2）设A1,A2,A3为三个事件，且P(Ak)?p(k?1,2,3,0?p?1)，则这三个事件不全发生的概率是（ ）。
(A)(1?p)3；(B)3(1?p)；
(C)(1?p)3?3p(1?p)；(D)3p(1?p)2?3p2(1?p)
（3）设10件产品中有4件不合格品，从中任取两件，已知两件中有一件事不合格品，求另一件也是不合格品的概率。
（4）设随机事件A,B及和事件A?B的概率分别是0.4，0.3和0.6。若B表示B对应的对立事件，那么积事件AB的概率P(AB)?________。
（5）甲、乙两人独立地对同一目标射击一次，其命中率分别为0.6和0.5，现已知目标被命中，则它是甲射中的概率为__________。
（6）现有两种报警系统A与B，每种系统单独使用时，系统A有效的概率为0.92，系统B为0.93，在A失灵的条件下，B有效的概率为0.85，求： (a)在B失灵条件下，A有效的概率； (b)这两个系统至少有一个有效的概率。
（7）设A和B是任意两个概率不为零的不相容的事件，则下列结论中肯定正确的是( ) (A)A与B不相容； (B) A与B相容； (C)P(AB)?P(A)P(B)； (D)P(A?B)?P(A)。
(8)设A,B为任意两个事件，且A?B,P(B)?0，则下列选项中必然成立的是( ) (A)P(A)?P(AB)； (B)P(A)?P(AB)； (C) P(A)?P(AB)； (D)P(A)?P(AB)。
(9)设A,B,C是三个相互独立的事件，且0?P(C)?1，则在下列给定的四对事件中不相互独立的是( )
(A)A?B与C； (B)AC与C； (C)A?B与C； (D)AB与C。