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概率论与数理统计习题 第四章 随机变量的数字特征
习题4-1 某产品的次品率为0.1，检验员每天检验4次，每次随机地取10件产品进行检验，如发现其中的次品数多于1个，就去调整设备，以X表示一天中调整设备的次数，试求E(X)（设诸产品是否为次品是相互独立的）.
解：设表示一次抽检的10件产品的次品数为ξ
P=P（调整设备）=P (ξ>1)=1－P (ξ≤1)= 1－[P (ξ=0)+ P (ξ=1)]
1－0.7361=0.2639.
查二项分布表
?4?04
因此X表示一天调整设备的次数时X～B(4, 0.2639). P (X=0)=??0??×0.2639×0.7361
??=0.2936.
?4??4?1322
??P (X=1)=?×0.2639×0.7361=0.4210, P (X=2)= ?1??2??×0.2639×0.7361=0.2264. ?????4??4?30
??P (X=3)=?×0.2639×0.7361=0.0541, P (X=4)= ?3??4??×0.2639×0.7361=0.0049. ????从而
E (X)=np=4×0.2639=1.0556
j?2j?13?习题4-2 设随机变量X的分布律为P?X?(?1)?,?jj?3?j?1,2,?,说明X的数学期望不存在.
解： 由于
?(?1)j?1?j?1j???3j3j221j?13P(X?(?1))???，而级数发散，故级数2??jjjj?1j3j?1jj?1j?(?1)j?1?j?1j3jj?13P(X?(?1))不绝对收敛，由数学期望的定义知，X的数学期望不存在. jj习题4-3 设随机变量X的分布律为
X pk 求E(X),E(X),E(3X?5).
22-2 0.4 0 0.3 2 0.3 解 E(X)=(-2)0.4+00.3+20.3=-0.2
由关于随机变量函数的数学期望的定理，知
E(X2)=(-2)20.4+020.3+220.3=2.8
E(3X2+5)=[3 (-2)2+5]0.4+[3 02+5]0.3+[322+5]
如利用数学期望的性质，则有
E(3X2+5)=3E(X2)+5=32.8+5=13.4
可编辑
0.3=13.4
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E(X)??2?0.4?0?0.3?2?0.3??0.2,E(X2)?(?2)?0.4?2?0.3?2.8,22
E(3X2?5)?3E(X)?5?13.4?e?x,习题4-4 设随机变量X的概率密度为f(x)???0,求(1)Y?2X;(2)Y?e解
?2X2x?0, x?0的数学期望.
(I)E(Y)?E(2X)??2xf(x)dx?2(?x?0dx????????0??0xe?xdx)
?2(?xe?x?0????0e?xdx)??2e?x???0?2?(II)E(Y)?E(e?2X)????0e?2x?edx???x0e?3x?1?3xdx?e3?01 3
?12y2,习题4-5 设(X,Y)的概率密度为f(x,y)???0,求E(X),E(Y),E(XY),E(X?Y).
220?y?x?1,其它解 各数学期望均可按照E[g(X,Y)]???????????g(x,y)f(x,y)dxdy计算。因f(x,y)仅
在有限区域G:{(x,y)|0?y?x?1}内不为零，故各数学期望均化为G上相应积分的计算。
E(X)???????????xf(x,y)dxdy???12xy2dxdy??dx?12xy2dy?G001x1x4 5E(Y)???????????yf(x,y)dxdy???12yy2dxdy??dx?12y3dy?G001x3 51 2E(XY)???????????xyf(x,y)dxdy???12xyy2dxdy??dx?12xy3dy?G001xE(X?Y)???(x?y)12ydxdy??dx?12(x2y2?y4)dy?G002222216 15习题4-6 将n只球(1~n)号随机地放进n只(1~n)盒子中去，一只盒子装一只球，若一只球装入与球同号的盒子中，称为一个配对，记X为总的配对数，求E(X).
可编辑
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?1第i只球放在第i只盒子中解：Xi??
?0第i只球没有放在第i只盒子中 X??Xi 表示所有配对的个数
i?1n P?Xi?1?? ?EXi?n11P?Xi?0??1? nn1 n1?1 n?EX??EXi?n?i?1?x?x2/2?2,?e习题4-7 设随机变量X服从瑞利分布，其概率密度为f(x)???2??0,其中??0是常数，求E(X),D(X).
解 E(X)????x?0,x?0
??xf(x)dx??x????x?2e?x2/2?2dx
令u?x2/2?22????0u1/2e?udu?2??(3/2)?2?1??(1/2)??22E(X2)??????x2f(x)dx??222????x2x?2e?x2/2?2dx
令u?x/2?2????0ue?udu?2?2?(2)?2?2故 D(X)?E(X2)?(E(X))2?2?2??2?2?4??2? 2?1?,习题4-8 设二维随机变量(X,Y)的概率密度为f(x,y)?????0,试验证：X和Y是不相关的，但X和Y不是相互独立的. 设D?{(x,y)|x?y?1}.
22x2?y2?1,其它
E(X)?? =?????????xf(x,y)dxdy?1??2xdxdy πx2?y?112π1rcos?grdrd??0. ??00π可编辑
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同理E(Y)=0. 而 Cov(X,Y)? ???????????[x?E(x)]g[y?E(Y)]f(x,y)dxdy
112π12xydxdy?rsin?cos?rdrd??0, ????00πx2?y2?1π由此得?XY?0,故X与Y不相关. 下面讨论独立性，当|x|≤1时，fX(x)1?y2?1?x21?1?x212dy?1?x2. ππ当|y|≤1时，fY(y)?1?1?y212dx?1?y2. ππ显然fX(x)gfY(y)?f(x,y). 故X和Y不是相互独立的.
习题4-9 设随机变量(X,Y)具有概率密度
?1?(x?y),f(x,y)??8??0,0?x?2,0?y?2,其它
求E(X),E(Y),Cov(X,Y),?XY,D(X?Y).
解 因f(x,y)仅在有限区域G:{(x,y)|0?x?2,0?y?2}内不为零，故有
x(x?y)dy
?????0082x2xy227 ??(xy?)|0dx??(x?1)dx?
0804262????22x22 E(X)???xf(x,y)dxdy??dx?(x?y)dy
????00822x2xy225 ??(xy?)|0dx??(x2?x)dx?
080423????22xy E(XY)???xyf(x,y)dxdy??dx?(x?y)dy
????0082xy2xy2244 ??(xy?)|0dx??(x?)dx?
0804233由x,y在f(x,y)的表达式中的对称性(即在表达式f(x,y)中将x和y互换，表达式不变)，得知
E(X)??????xf(x,y)dxdy??dx?2275,E(X2)?E(Y2)?, 635711且有 D(Y)?D(X)?E(X2)?[E(X)]2??()2?，
3636E(X)?E(Y)?可编辑
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而 Cov(X,Y)?E(XY)?E(X)E(Y)?449?1 ??33636?XY?Cov(X,Y)D(X)D(Y)?5?1； D(X?Y)?D(X)?D(Y)?2Cov(X,Y)?
911习题4-10 设(X,Y)服从二维正态分布，且X~N(0,3)，Y~N(0,4)，相关系数
?XY??1/4，试写出X和Y的联合概率密度.
解 因?1??2?0,?1?3,?2?2,???1，故X和Y的联合概率密度为 4xyy2?1x2f(x,y)?exp[(??)]
2(1?1/16)3443?1?1/16431xyy2?8x2?exp[(??)]
153435?431可编辑