宁波市2015学年第一学期期末试卷
高三数学（理科）参考答案
一、选择题：本题考查基本知识和基本运算．每小题5分，满分40分． 1．A 2. B3．C 4. B 5．D 6.C7．D 8．A 二、填空题: 本题考查基本知识和基本运算．多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．
9. 12，
m?n2? 10.（0，1），11. 0，-25 2m311?5?2?3?13?] 12.[,1]，[,2]13.?,?14. 15.[,2181824?22?
三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（本题满分14分） 解
B?C4?sinA?251?sinA?cosA??
5:
2cos2?1?cos(B?C)?sinA?45即
3?sinA???5????????322又0?A??，且sinA?cosA?1，有??cosA?4?5?分
（1）若满足条件的?ABC有且只有一个，则有a?bsinA或a?b 则b的取值范围为(0,2]?{10}；????????7分 3（2）设?ABC的周长为l，由正弦定理得
l?a?b?c?a??2?a(sinB?sinC)sinA10[sinB?sin(A?B)]3
10[sinB?sinAcosB?cosAsinB]3????????10分 ?2?2(3sinB?cosB)?2??2?210sin(B??)?10sin????10，
其中?为锐角，且??cos??310?10?lmax?2?210，当
cBo?1s10B?0,310s时i取n10到.????????12分 此时b?asinB?10 .????????14分 sinA222（注：也可利用余弦定理a?b?c?2bccosA，结合基本不等式求解）
17．（本题满分15分）
（Ⅰ）证明：因为?ABE??ABC?又
?2，所以AB?平面BCE
，
从
而
有
EF//CD,所以
EF//平面ABCDAB//CD//EF，??????3分
所以CD?平面BCE，从而CD?CE， 又CE//DF，所以CD?DF， 又平面
DCE?F平面ABC， 所以DF?平面
ABC.????????7分（Ⅱ）过C作CH?BE交BE于H，
HK?BF交BF于K,
?AB，从而CH?平面ABEF， 因为AB?平面BCE，所以CH 所以CH?BF，从而BF?平面CHK，所以BF?KH
?即?HKC为C?BF?E的平面角，与A?BF补. ?????10分
C的平面角互
因为BC?DCEF，所以BF与平面DCEF所成角为?BFC. 由
tan?BFC?CBBC1??CF2CD2?CE2，所以
2CB2?CD2?CE2，???12分
由?ABD是等边三角形，知?CBD?30?，所以CB?3CD 令CD?a，所以CB?3a,CE?5CD?5a,
CH?1530a?a,CK?2a.
4221CH15，cos?CKH?. ?4CK41. ????????154所以sin?CKH?所以二面角A?BF?C的平面角的余弦值为?分
zFEFEKHxADBABDCyC
法二：因为CB,CD,CE两两垂直，以C为原点，CD,CB,CE所在直线为
x,y,z轴，如图建立空间直角坐标系. 不妨设CD?1.
因为BC?DCEF，所以BF与平面DCEF所成角为?BFC .
由
tan?BFC?CBBC1??CF2CD2?CE2，所以
2CB2?CD2?CE2，????9分
由
?ABD是等边三角形，知?CBD?30?，所以
CB?3,C?E5C? D5,D(1,0,0),B(0,3,0),E(0,0,5),A(2,3,0),F(1,0,5)?????
?11分
????????????????CF?(1,0,5),CB?(0,3,0)，BA?(2,0,0),BF?(1,?3,5)
??平面ABF的一个法向量n1?(x1,y1,z1)，平面CBF的一个法向量???n2?(x2,y2,z2)
???3y2?0?2x1?0则?且? ??x1?3y1?5z1?0??x2?3y2?5z2?0?????取n1?(0,5,3),n2?(?5,0,5)????????13分
??????????n?n21??. 则cos?n1,n2????1??|n1|?|n2|4?????二面角A?BF?C的平面角与n1,n2的夹角互补.
所以二面角A?BF?C的平面角的余弦值为?15分
218.解：（Ⅰ）由4m|f(x)|?4f(m)?|f(x?1)|对任意的1?x?2恒成立. 2222得4m(x?1)?4(m?1)?2x?x对任意的1?x?2恒成立.
221. ????????4整理得(4m?1)x?2x?4?0对任意的1?x?2恒成
立. ????????3分
?x2?2x?4即有m?对任意的1?x?2恒成立.
4x22?x2?2x?4?1??1?115又????????[,]. 24x?x??2x?4442故m?21?11?，则实数m的取值范围为??,?. ????????64?22?分
（Ⅱ）y?f(x1)(1?x1?2)的值域为D1?[0,3]，????????7分 令g(x)?|2f(x)?ax|即g(x)?|2x2?ax?2|.
原问题等价于当x?[1,2时，g(x)的值域为[0t,，]其中
t?3. ??????9分
令h(x)?2x2?ax?2,(1?x?2). （1）当
a?1时，即a?4时，h(1)?h(x)?h(2). 4所以h(1)h(2)?0且h(1)??3或h(2)?3. 即0?a?3且a?3或a?所
以
3. 20?a?32或
a?3. ????????11分
（2）当
a?2时，即a?8时，h(2)?h(x)?h(1) 4所以h(1)h(2)?0，无解；????????13分 （3）当1?aa?2，即4?a?8时，h()?h(x)?max{h(1),h(2)} 440所以h(2?)?6a?2，从而a?3无，
因为h(1?)?a?