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图2-4 消费者的无差异曲线
（2）当x价格高于y时，此，其支出比例也为0。
10．某消费者具有效用函数u?x,y??x?lny，请推导出他的无差异曲线。如果他现在拥有m元人民币，商品x的价格为p元，商品y的价格等于1，则他最多能够获得多少效用？
解：（1）把效用值u?x,y?固定为k，即可得出无差异曲线的隐函数形式：
k?x?lny
MUxPMUxMUy?1?x??，消费者对x的购买量为0，因MUyPyPxPy解此隐函数可得y?ce?x，此即是该效用函数对应的无差异曲线。 （2）消费者的效用最大化问题为：
maxu?x,y??x?lnys.t. px?y?m
建立拉格朗日函数：
L?x,y,???x?lny???m?px?y?
效用最大化的一阶条件为：
?L?1??p?0 ① ?x?L1????0 ② ?yy?L?m?px?y?0 ③ ??联立三个方程，解得：x?m?p，y?p。 pm?p?lnp。 p因此，消费者可获得的最大效用为umax?x?lny?
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11．如果消费者具有效用函数u?x,y??max?x,y?，请描述消费者均衡的情况，消费者能够同时消费两种商品吗？
1?x?y?x?y?。 2当x大于y时，效用等于x的消费量；当x小于y时，效用等于y的消费量。因此，由
解：消费者的效用函数等价于：u?x,y??图2-5可知，当两商品相对价格不等于1时，消费者会将所有收入购买价格相对便宜的那种商品。当两商品相对价格等于1时，消费者会选择任意一种商品来用完预算。这种效用函数具有数量至上的特点，完全替代性也可能导致只消费一种商品，但两者有很大不同。
图2-5 完全替代商品无差异曲线
12．某人效用函数为：u?x,y??min?2x,3y?，要求：
（1）画出他的无差异曲线。
（2）他的偏好符合偏好的一般假设吗？ 解：（1）这种效用函数意味着两种商品间具有互补性，因此无差异曲线如图2-6所示。
图2-6 完全互补品的无差异曲线
（2）对任意两个商品束（x1，y1）和（x2，y2），或者有u?x1,y1??u?x2,y2?，或者有u?x1,y1??u?x2,y2?，或者有u?x1,y1??u?x2,y2?，三者必有其一，因此偏好满足完备性。
因为有u?x1,y1??u?x1,y1?和u?x2,y2??u?x2,y2?，可知偏好满足自反性。
如果有u?x1,y1??u?x2,y2?和u?x2,y2??u?x3,y3?，必有u?x1,y1??u?x3,y3?，所以偏好也满足传递性。故此人的偏好符合偏好的一般假设。
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13．消费者具有效用函数u?x,y??xayb，a?0，b?0，要求：
（1）为了最大化个人效用，消费者会把收入的多少用于x的消费和y的消费？ （2）什么时候消费者是风险规避的？ 解：（1）构造拉格朗日函数：
L?x,y,???xayb???pxx?pyy?m?
拉格朗日函数极值的必要条件为：
?L?axa?1yb??px?0 ① ?x?L?bxayb?1??py?0 ② ?y?L?m?pxx?pyy?0 ③ ??联立方程①、②可得：
pxxa? ④ pyyb将④式代入③式，有：pxx?因此消费者会把收入的
abm，pyy?m。 a?ba?bab用于x的消费，用于y的消费。 a?ba?b?2u???x?y??a?a?1?xa?2yb??2?abxa?1yb?1??u??2??x???2u?2?x（2）利用海塞矩阵判别。当H??2??u???x?y?abxa?1yb?1??半负定，
b?b?1?xayb?2??即??1?rrHr??0时，效用函数u?x,y?为凹函数。
112即：??1?a?a?1?xa?2yb?0，??1?b?b?1?xayb?2?0，??1?H?ab?1?a?b?x2a?2y2b?2?0 由a?0，b?0得三个不等式的解分别为：a?1，b?1，a?b?1。
故当a?b?1，a?0，b?0时，效用函数u?x,y?为凹函数，因此消费者是风险规避的。
14．某人对于商品x和y有如下偏好：在组合一（x1，y1）和组合二（x2，y2）中，如果x1、y1中的最大值大于x2、y2中的最大值，则此人偏好组合一（x1，y1），反之偏好组合二。如果两个组合的最大值相同，则某人在这两个组合间无差异。要求：
（1）写出代表此人偏好的效用函数。 （2）某人是否具有凸的偏好？ 解：（1）代表该偏好的一个效用函数是：
u?x,y??max?x,y?
它的任何一个单调变换也是该偏好的效用函数。
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（2）该偏好不能满足凸性的要求，例如：?3,1???3,3?，?1,3???3,3? 但对于（3，1）和（1，3）的任何凸组合，当??0,1时，都有：
?3???1???,??3?1??????3,3?
15．有三个消费者A、B、C，他们的效用函数分别为： A：uA?x,y??xy； B：uB?x,y??lnxy；
C：uc?x,y???xy?。
2（1）如果消费者A对两个商品组合（x1，y1）和（x2，y2）是无差异的，你认为消费者B对这两个商品组合的偏好是怎样的呢？消费者C又如何呢？给出你的理由。
（2）分别计算消费者A、B、C在商品组合（5，8）上的边际替代率，它们间有什么联系吗？这说明了什么问题？
解：（1）消费者B的效用函数可以表示为uB?lnuA，消费者C的效用函数可以表示为uC?uA2。 可见，他们对商品空间所有商品束的偏好排序是相同的，区别只在于他们赋予商品束的效用值有所不同。因此，如果A在商品组合（x1，y1）和（x2，y2）之间无差异的话，B和C在这两个组合间也是无差异的。
dyy??。 dxx（2）消费者无差异曲线的斜率均为：
将（5，8）代入式，结果均为-8/5，因此，A、B、C三者在（5，8）上的边际替代
率均为8/5。边际替代率相同说明三人的偏好序是完全相同的。
16．某人有柯布—道格拉斯效用函数：u?x,y??x1/3y2/3，要求： （1）分别求出他对商品x和y的边际效用函数。 （2）当x/y逐渐增大时，他的MRSxy是如何变化的？
解：（1）求消费者对x商品的边际效用就是固定效用函数中y的值，对x求导数。此时y被视为常量。因此，消费者对x的边际效用函数为：
221?3MU?x???xy3
?x3同理可以求出消费者对商品y的边际效用函数为：
?u?x,y?MU?y???u?x,y??y1?213?xy3 3（2）边际替代率为：MRSXY?减。
MU?x?MU?y??y，因此，当x/y逐渐增大时，边际替代率递2x985/211历年真题解析,答案,核心考点讲义,你想要的都在这→ 经济学历年考研真题及详解
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17．假定某人效用函数为：u?x??x1/2。他面临这样一种不确定性，未来收入有1/3的可能是25元，有2/3的可能是81元。要求计算：
（1）多少元的稳定收入会使他觉得境况与不确定情况下一样好？ （2）这一不确定性的风险溢价是多少？
（3）如果有一保险合同使他无论何种情况发生都能够得到81元的收入，他最多愿意花多少钱来购买这份合同？
1223解：（1）消费者的预期效用为：u?25??u?81??。
333为了获得这样的效用，消费者需要无风险收入x?1223529（元）。 ?x?39（2）风险溢价等于不确定情况下收入的期望值减去能够使其获得不确定情况下预期效1252932用的稳定收入值，因此，风险溢价为：?25??81?（元）。 ?3399（3）设他最多愿意花R元购买保险合同，则购买保险后的确定性收入81?R带来的效用不应低于无风险收入
x1?a18．如果预期效用函数为u?x??（a?0，a?1），它的阿罗普拉特相对风险规避度
1?a529529200带来的效用，故他最多愿意花81?（元）。 ?999量是多少？该效用函数的阿罗普拉特相对风险度量有什么特点？
x1?a解：（1）由预期效用函数u?x??，可得：
1?au??x???1?a?x?a1?a?x?a
u???x????a?x?a?1
从而阿罗普拉特相对风险规避度量为：
x???axxu??r????u?x?a?a?1??a
（2）该效用函数的阿罗普特相对风险度量为一常数，这种形式的效用函数被称为不变
相对风险规避效用函数。
19．有人在x商品价格为1元，y商品的价格也为1元时购买了6单位的x和4单位的y。在x商品价格为0.5元，y商品价格为1.5元时购买了2单位的x和6单位的y。请问他的购买行为符合显示偏好理论吗？
答：显示性偏好理论要求如果甲商品组合显示偏好于乙商品组合的话，就不能有乙商品组合显示偏好于甲商品组合。
通过检验，当两种商品价格均为1元时，有：1?6?1?4?1?2?1?6，这说明（6，4）组合显示偏好于（2，6）组合。
当价格分别为0.5元和1.5元时，有：0.5?2?1.5?6?0.5?6?1.5?4，这说明（2，6）985/211历年真题解析,答案,核心考点讲义,你想要的都在这→ 经济学历年考研真题及详解