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解：（1）这个最优化问题可以表述为：
1??max???ixi??ixi2?xi2?i?1?s.. t?xi?C?xi?0,i?1,2,???n?i?1nn
构造拉格朗日函数：
n12L??(?ixi??ixi)??(C??xi)
2i?1i?1n一阶必要条件为：
?L?L??i??ixi???0，xi?0，?xi?0 ?xi?xin?L?L???0 ?C??xi?0，??0，????i?1证明：（2）由于
?i?????0，??0，因此有i?i。由（1）中的一阶必要条件有：?i?i?inn?i???i?xi?，所以xi?。对该不等式求和有：?xi??i?H?C。
?i?ii?1i?1?i可见，此时必有一部分资金没有被分配出去。
（3）如果??0，则C??xi。此时由?i??ixi???0可得，xi?i?1n?i?0。可见，此时每?i一个项目都获得了资助。
（4）由假设xi?0，xj?0，再联系
?L?0，可得?i??ixi???0，?j??jxj???0，?xi即???i??ixi，???j，于是有?j??i??ixi，即?j＜?i。
31．设效用函数为u?x1,x2??ln?x1??2ln?x2?。如果p1?p2?1，当对不同的收入水平提供赌局时，这个人将会是风险偏好、风险中性还是风险厌恶？
解：令消费者的收入为y，则该消费者效用最大化问题可以表述为：
max u?x1,x2??lnx1?2lnx2x1,x2
s.. tx1?x2?y构造拉格朗日函数：
L?lnx1?2lnx2???y?x1?x2?
通过对该最优化问题的求解，可以得到：x1?y2y，x2?。 332?y??2y?因而间接效用函数就成为如下的形式：u?y??ln???ln???ln?2lny。
9?3??3?则：u??y??22，u??y???2。 yy985/211历年真题解析,答案,核心考点讲义,你想要的都在这→ 经济学历年考研真题及详解
由于u??y???
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2?0，效用函数为凹函数，因此，这个人表现出风险厌恶的特性。 y2
32．一居民有财富10万元，包括2万元的摩托车，他有25%的可能车被盗，假定他的效用函数为：u?w??ln?w?，其中w表示财富价值。求：
（1）他的效用期望。
（2）根据（1）判断他是风险规避还是风险爱好？ （3）如果有全保，他最多愿意出多少钱？
（4）在该保险费中，公平的保险费（即他的期望损失）为多少？保险公司在扣除公平的保险费后的纯收入是多少？
解：（1）该居民的期望效用为：
75%?ln100000?25%?ln80000?11.46
（2）u???w???1?0，效用函数严格凹，故该户居民是风险规避者。 w2（3）缴纳保险费?后，居民的财富确定为100000??；不缴纳保险费，居民的预期效用为11.46。
由ln?100000????1146．得，??5434元，故居民最多愿意支付5434元。
（4）公平的保险费为2?25%?0.5（万元），故保险公司扣除“公平”的保险费后的纯收入是434元。
33．若无差异曲线是一条斜率为?k的直线，且已知消费者的收入为m，两种商品x1和x2的价格分别为p1，p2。求解消费者均衡时的最优商品组合。
解：消费者均衡的必要条件为：
MU1?x??2?k可见： MU2?x1MU1p?1。由于无差异曲线为斜率是?k的直线，所以MU2p2当当
p1?k时，预算线与无差异曲线重合，此时预算线上的任何点都是最优的商品组合； p2p1?k时，预算线斜率大于无差异曲线的斜率，此时最优的商品组合是预算线与纵轴p2?m?x2的交点，最优的商品组合为?x1,x2???0,?；
?p2?当
p1?k时，预算线斜率小于无差异曲线的斜率，此时最优的商品组合是预算线与横轴p2?m?x1的交点，最优的商品组合为?x1,x2???,0?。
?p1?
34．某消费者的效用函数为u?w??lnw，w为其初始财富，现有投硬币的赌博，当其猜
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消费者的风险偏好类型。
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中时，其财富为w?x，而猜错，则财富为w?x。而硬币正面向上的概率为p，正面向下的概率为1?p，试确定其最优的赌注x。当p?1/2时，其还会再赌博吗？赌多少？并确定该
解：（1）最优财富满足lnw?p?ln?w?x???1?p??ln?w?x?的x为最优。
111（2）当p?时，?ln?w?x???ln?w?x??lnw2?x2，所以若当lnw2?x2?lnw时，
222该消费者会赌，即w2?x2?w2?x2?0时才会赌，故该消费者不会赌。
u???w??1/w21????0，故该消费（3）根据阿罗·普拉特绝对风险规避度量：???u??w?1/ww者为风险规避型。（也可直接根据u???w???
1?0判断效用函数为凹函数） w235．某人的收入为10000元，全部用于购买商品x和y，其中px?50，py?20，效用函数为u?xy2。假设个人收入税率为10%，商品x的消费税率为20%。为实现效用极大化，该人对商品x、y的需求量分别为多少？
解：该消费者可用于消费支出的收入为m?10000??1?10%??9000元。
商品x的实际价格为px?50??1?20%??60，故预算约束为60x?20y?9000，即
y?450?3x。
代入效用函数得：
u?xy2?x?450?3x??9?x3?300x2?22500x?
2效用极大化的条件为：
du?9?3x2?600x?22500??0 dx解得x?50或x?150。
当x?150时，y?0?u?0，不符合题意，故舍去。 故商品x和y的最优消费数量分别为x?50，y?300。
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