2.2.1 双曲线及其标准方程
【选题明细表】 知识点、方法 双曲线的定义 双曲线的标准方程 与双曲线定义有关的轨迹问题 综合问题 【基础巩固】
1.已知M(-2,0),N(2,0),|PM|-|PN|=4,则动点P的轨迹是( C ) (A)双曲线 (B)双曲线左支 (C)一条射线 (D)双曲线右支 解析:因为|PM|-|PN|=4=|MN|, 所以动点P的轨迹是一条射线. 故选C.
题号 1,2,11 3,4,5 6,8 7,9,10,12,13 2.双曲线-=1上的点到一个焦点的距离为12,则到另一个焦点的距离为( A )
(A)22或2 (B)7 (C)22 (D)2
2
解析:因为a=25,
所以a=5.由双曲线定义可得||PF1|-|PF2||=10, 由题意知|PF1|=12, 所以|PF1|-|PF2|=±10, 所以|PF2|=22或2. 故选A.
3.(2018·洛阳高二月考)已知方程-=1表示双曲线,则k的取值范围是( A )
(A)(-1,1) (B)(0,+∞)
(C)[0,+∞) (D)(-∞,-1)∪(1,+∞) 解析:由题意得(1+k)(1-k)>0, 所以(k-1)(k+1)<0, 所以-1 4.设动点P到A(-5,0)的距离与它到B(5,0)距离的差等于6,则P点的轨迹方程是( D ) (A)-=1 (B)-=1 (C)-=1(x≤-3) (D)-=1(x≥3) 1 解析:由题意知,动点P的轨迹应为以A(-5,0),B(5,0)为焦点的双曲线的右支. 2 由c=5,a=3,知b=16, 所以P点的轨迹方程为故选D. -=1(x≥3). 5.(2018·大连双基检测)双曲线-=1的焦距是( C ) (A)4 (B)2 (C)8 (D)与m有关 2222222 解析:因为a=m+12,b=4-m,c=a+b=16, 所以c=4, 所以焦距2c=8. 故选C. 22 6.(2017·龙泉驿区高二月考)一动圆P过定点M(-4,0),且与已知圆N:(x-4)+y=16相切,则动圆圆心P的轨迹方程是( C ) (A)-=1(x≥2) (B)-=1(x≤2) (C)-=1 (D)-=1 解析:由题知||PN|-|PM||=4,2a=4,2c=8,所以b=2,所以动圆圆心P的轨迹方程为-=1, 故选C. 22 7.已知F1,F2为双曲线C:x-y=1的左、右焦点,点P在C上,∠F1PF2=60°,则|PF1|·|PF2|等于 . 解析:在△PF1F2中, 2222 |F1F2|=|PF1|+|PF2|-2|PF1|·|PF2|·cos 60°=(|PF1|-|PF2|)+|PF1|·|PF2|, 即(2)=2+|PF1|·|PF2|, 解得|PF1|·|PF2|=4. 答案:4 22 8.已知椭圆x+2y=32的左、右两个焦点分别为F1,F2,动点P满足|PF1|-|PF2|=4.求动点P的轨迹E的方程. 2 2 解:由椭圆的方程可化为+=1得 |F1F2|=2c=2=8,|PF1|-|PF2|=4<8. 所以动点P的轨迹E是以F1(-4,0),F2(4,0)为焦点, 2a=4,a=2的双曲线的右支, 222 由a=2,c=4得b=c-a=16-4=12, 故轨迹E的方程为 -=1(x≥2). 2 【能力提升】 9.(2018·成都诊断)已知点P在曲线C1: 2 2 -=1上,点Q在曲线C2:(x+5)+y=1上,点R在 22 曲线C3:(x-5)+y=1上,则|PQ|-|PR|的最大值是( C ) (A)6 (B)8 (C)10 (D)12 解析:由双曲线的知识可知C1:-=1的两个焦点分别是F1(-5,0)与F2(5,0),且 |PF1|-|PF2|=8, 22222222 而这两点正好是两圆(x+5)+y=1和(x-5)+y=1的圆心,两圆(x+5)+y=1和(x-5)+y=1的半径分别是r2=1,r3=1, 所以|PQ|max=|PF1|+1,|PR|min=|PF2|-1, 所以|PQ|-|PR|的最大值为(|PF1|+1)-(|PF2|-1)=|PF1|-|PF2|+2=8+2=10. 故选C. 22 10.(2018·甘肃质检)已知m,n为两个不相等的非零实数,则方程mx-y+n=0与nx+my=mn所表示的曲线可能是( C ) 解析:把直线方程和曲线方程分别化为y=mx+n,和截距n的正负,从而断定曲线的形状.故选C. +=1.根据图形中直线的位置,判定斜率m 11.(2018·贵阳高二检测)给出问题:F1,F2是双曲线-=1的焦点,点P在双曲线上,若点 P到焦点F1的距离等于9,求点P到焦点F2的距离. 某学生的解答如下: 由||PF1|-|PF2||=2a=8,即|9-|PF2||=8,得|PF2|=1或|PF2|=17. 该学生的解答是否正确?若正确,请将他的解题依据填在下面横线上;若不正确,将正确答案填在下面横线上. 解析:在双曲线的定义中,||PF1|-|PF2||=2a, 即|PF1|-|PF2|=±2a,正负号的取舍取决于P点的位置是在左支上还是在右支上. 因右顶点到左焦点的距离为10>9, 所以点P只能在双曲线的左支上. 答案:|PF2|=17 12.设有双曲线-=1,F1,F2是其两个焦点,点M在双曲线上. (1)若∠F1MF2=90°,求△F1MF2的面积; (2)若∠F1MF2=120°,△F1MF2的面积是多少?若∠F1MF2=60°,△F1MF2的面积又是多少? 3 (3)观察以上计算结果,你能看出随∠F1MF2的变化,△F1MF2的面积将怎样变化吗?试证明你的结论. 解:设|MF1|=r1,|MF2|=r2(不妨设r1>r2),θ=∠F1MF2, 因为=r1r2sin θ=r1r2, 所以只要求r1r2即可, 因此考虑到双曲线定义及余弦定理可求出r1r2. (1)由双曲线方程知a=2,b=3,c=, 由双曲线定义,有|r1-r2|=2a=4, 两边平方得+-2r1r2=16, 又+=|F2 1F2|, 即|F1F2|2 -4=16, 也即52-16=4, 求得 =9. (2)若∠F1MF2=120°,在△MF1F2中,由余弦定理得, |F2 2 1F2|=+-2r1r2cos 120°=(r1-r2)+3r1r2=52, 所以r1r2=12, 求得=r1r2sin 120°=3. 同理可求得若∠F1MF2=60°, =9 . (3)由以上结果可见,随着∠F1MF2的增大,△F1MF2的面积将减小. 证明如下:=r1r2sin θ. 由双曲线定义及余弦定理,有 ②-①得r1r2=, 所以==b2 cot. 4 因为0<θ<π,所以0<<, 在（0,）内,cot是减函数. 因此当θ增大时,=b2 cot减小. 【探究创新】 13.当0°≤α≤180°时,方程x2 cos α+y2 sin α=1表示的曲线如何变化? 解:(1)当α=0°时,方程为x2 =1,它表示两条平行直线x=±1. (2)当0°<α<90°时,方程为+=1. ①当0°<α<45°时,0< < ,它表示焦点在y轴上的椭圆. ②当α=45°时,它表示圆x2 +y2 = . ③当45°<α<90°时, >>0,它表示焦点在x轴上的椭圆. (3)当α=90°时,方程为y2 =1,它表示两条平行直线y=±1. (4)当90°<α<180°时,方程为 -=1,它表示焦点在y轴上的双曲线. (5)当α=180°时,方程为x2 =-1,它不表示任何曲线. 5