河北省高等教育自学考试
定积分在经济学中的
应用
——定积分在经济学中的应用
地 市：沧州市 专业：投资管理 姓名：郭梦帆 准考证号：091815100011 身份证号：131122199504140213 联系电话：15531766187
内容摘要
经济数学基础本着基础教学为专业服务及注重应用、培养能力的原则，根据微积分、线性代数、概率统计的基本知识逻辑，以知识介绍为重点，详略得当；叙述上力求简明、通俗，又不失科学性。
关键词： 定积分 微分 经济学 边际函数 投资 经济数学基础知识点 1.一元函数极值
设函数f（x）在X0的一个邻域内有定义，若对于该邻域内异于X0的X恒有:f(x)
极值反映函数的局部性态，是一个局部概念．极大值不一定大于极小值，极大（小）值不一定是区间上的最大（小）值，但就极值点附近的范围来说极大（小）值就是最大（小）值；区间上的极值点可能有若干个。 2.二元函数极值
设函数Z=f(x, y)在点(x0,y0)的邻域内有定义，对于该邻域内异于(x0,y0)的点，如果都有f(x, y)
求多元函数的极值，一般可以利用偏导数来解决．与一元函数类似，可以利用函数的极大值、极小值求解函数的最大值、最小值，但是由于自变量个数的增加，应特别注意概念中的一些变化和计算．对于二元以上的函数极值问题可类似的加以解决，如可以将二元函数极值问题的理论推广到多元函数的情形，以及利用泰勒
公式推导出判断多元函数极值存在的充分条件、极值不存在的必要条件等。 3. 定积分
定积分就是求函数f(X)在区间[a, b]中图线下包围的面积。即由 y=0,x=a, x=b, y=f(X)所围成图形的面积。这个图形称为曲边梯形，特例是曲边三角形。
设函数f(x) 在区间[a, b]上连续，将区间[a, b]分成n个子区间[x0,x1], (x1,x2], (x2,x3], …, (xn-1,xn]，其中x0=a，x n=b。可知各区间的长度依次是：△x1=x1-x0, △x2=x2-x1, …, △x n=xn-xn-1。在每个子区间(xi-1,xi]中任取一点 ξ I （1,2,...,n），作和式
设λ=max{△x1, △x2, …, △ x （即λ是最大的区间长度），n}
则当λ→0时，该和式无限接近于某个常数，这个常数叫做函数f(x) 在区间[a, b]的定积分，记为
定理1：设f(x)在区间[a, b]上连续，则f(x)在[a, b]上可积。 定理2：设f(x)区间[a, b]上有界，且只有有限个间断点，则f(x)在[a, b]上可积。
定理3：设f(x)在区间[a, b]上单调，则f(x)在[a, b]上可积。 4.概率模型
概率模型是基于以下理论：给定一个用户的查询串和集合中的文档 概率模型来估计用户查询串与文档 相关的概率。概率模型假设这种概率只决定于查询串和文档。更进一步说，该模型假定存在一个所有文档的集合，即相对于查询串 的结果文档子集，这种理想的集合用R表示，集合中的文档是被预料与查询串相关的。 下面将具体讨论一种简单的算法。
在查询的开始间段只定义了查询串，还没有得到结果文档集。我们不得不作一些简单的假设，例如：（a）假定 对所有的索引术语 来说是常数（一般等于0.5）；（b）假定索引术语在非相关
文档中的分布可以由索引术语在集合中所有文档中的分布来近似表示。这两种假设用公式表示如下：
表示出现索引术语 的文档的数目，N是集合中总的文档的数目。在上面的假设下，我们可以得到部分包含查询串的文档，并为他们提供一个初始的相关概率。 5．期望
离散随机变量的一切可能值与其对应的概率P的乘积之和称为数学期望，决定可靠性的因素常规的安全系数是根据经验而选取的,即取材料的强度极限均值(概率理论中称为数学期望)与工作应力均值(数学期望)之比。 定积分在经济中的应用
一直以来，定积分都是大学数学中的重要内容，它是解决实际问题的重要工具，在经济学中有着广泛的应用，所以本文对定积分的概念以及它在经济学上的应用做了重点研究，并利用一些例题对定积分在经济学上的应用进行了举例分析。 1.定积分在边际函数中的应用
积分是微分的逆运算，因此，用积分的方法可以由边际函数求出总函数.
设总量函数P(x)在区间I 上可导，其边际函数为P′(x)，[a, x]∈
I ，则总有函数
P(x)??P?(u)du?P(a)
ax当 x 从a 变到b 时，P(x)的改变量为
?P?P(x)?P(a)??P?(u)du
ax将 x 改为产量Q，且a=0 时，将P(x)代之以总成本C(Q)、总收入R(Q)、总利润L(Q)， 可得
QC(Q)??C?(x)dx?C(0)
0其中即为C(0)固定成本，?C?(x)dx为可变成本．
0Q R(Q)??R?(x)dx （ 因为R(0)?0）
0QL(Q)??L?(x)dx?C(0)
0Q例 1. 已知某公司独家生产某产品，销售Q 单位商品时，边际收入函数为
R?(Q)?ab?c（元/单位）（a>0,b>0,c>0）
(Q?b)2求：(1)公司的总收入函数；(2)该产品的需求函数. 解 ：(1)总收入函数为
QR(Q)??R?(x)dx=?[0QQab0?x?b?2?ab??c]dx=????x?b?0=a?ab?cQ Q?bab?cQ，得需求函Q?b(2)设产品的价格为P，则R?PQ?a?数为
P?aaba??c??c QQ(Q?b)Q?b2 .利用定积分由变化率求总量问题
如果求总函数在某个范围的改变量, 则直接采用定积分来解决。
例2．已知某产品总产量的变化率为Q?(t)?40?12t ( 件/天) ,
求从第5 天到第10 天产品的总产量。
解 所求的总产量为
Q??Q?(t)dt
50??(20?12t)dt?(40t?6t2)|10)?(200?150)?650(5?(400?600510件)