专题04 导数及其应用（解答题）
1．【2019年高考全国Ⅰ卷理数】已知函数f(x)?sinx?ln(1?x)，f?(x)为f(x)的导数．证明：
（1）f?(x)在区间(?1,)存在唯一极大值点； （2）f(x)有且仅有2个零点． 【答案】（1）见解析；（2）见解析.
【解析】（1）设g(x)?f'(x)，则g(x)?cosx??211，g'(x)??sinx?.
(1?x)21?x当x???1,设为?.
?????????1,时，单调递减，而，可得在g'(x)g'(x)g'(0)?0,g'()?0???有唯一零点，
2?2?2?则当x?(?1,?)时，g'(x)?0；当x???,?????时，g'(x)?0. 2?所以g(x)在(?1,?)单调递增，在??,存在唯一极大值点.
（2）f(x)的定义域为(?1,??).
???????????1,?1,单调递减，故在存在唯一极大值点，即在g(x)f'(x)?????2?2?2???（i）当x?(?1,0]时，由（1）知，f'(x)在(?1,0)单调递增，而f'(0)?0，所以当x?(?1,0)时，f'(x)?0，故f(x)在(?1,0)单调递减，又f(0)=0，从而x?0是f(x)在(?1,0]的唯一零点.
（ii）当x??0,???????????,f'时，由（1）知，在单调递增，在单调递减，而f'(x)(0,?)f'(0)=0??，?2??0，2?2??????????x?，使得，且当时，；当f'(?)?0x?(0,?)f'(x)?0???,?时，f'(x)?0.故f(x)2??2??????单调递减. 2?所以存在????,??在(0,?)单调递增，在??,又f(0)=0，f?????????????
?1?ln1??0x?0,f(x)?0f(x)，所以当时，.从而，在?????0,?没有零点. ??2??2??2??2?
???f???0，f(?)?0，所以f(x)在?2?（iii）当x????????,??时，f'(x)?0，所以f(x)在?,??单调递减.而
?2??2?
????,??有唯一零点. ?2?（iv）当x?(?,??)时，ln(x?1)?1，所以f(x)<0，从而f(x)在(?,??)没有零点. 综上，f(x)有且仅有2个零点.
【名师点睛】本题考查导数与函数极值之间的关系、利用导数解决函数零点个数的问题.解决零点问题的关键一方面是利用零点存在性定理或最值点来说明存在零点，另一方面是利用函数的单调性说明在区间内零点的唯一性，二者缺一不可.
2．【2019年高考全国Ⅱ卷理数】已知函数f?x??lnx?x?1x?1.
（1）讨论f(x)的单调性，并证明f(x)有且仅有两个零点；
x（2）设x0是f(x)的一个零点，证明曲线y=lnx在点A(x0，lnx0)处的切线也是曲线y?e的切线.
【答案】（1）函数f(x)在(0,1)和(1,??)上是单调增函数，证明见解析； （2）见解析.
【解析】（1）f（x）的定义域为（0，1）U（1，+∞）． 因为f'(x)?12??0，所以f(x)在（0，1），（1，+∞）单调递增． x(x?1)2e?1e2?1e2?32?0，f(e)?2?2因为f（e）=1??2?0，所以f（x）在（1，+∞）有唯一零点x1，即f（x1）e?1e?1e?1=0．又0?x?1111??f(x1)?0，故f（x）在（0，1）有唯一零点． ?1，f()??lnx1?1x1x1?1x1x1综上，f（x）有且仅有两个零点．
11?lnx0?e（2）因为，故点B（–lnx0，）在曲线y=ex上． x0x011x0?1?lnx0?x0?1x0xx0?11?0?． 由题设知f(x0)?0，即lnx0?，故直线AB的斜率k?x0?1?lnx0?x0?x0?1?xx00x0?1曲线y=ex在点B(?lnx0,111)处切线的斜率是，曲线y?lnx在点A(x0,lnx0)处切线的斜率也是， x0x0x0所以曲线y?lnx在点A(x0,lnx0)处的切线也是曲线y=ex的切线．
【名师点睛】本题考查了利用导数求已知函数的单调性、考查了曲线的切线方程，考查了数学运算能力.
3．【2019年高考全国Ⅲ卷理数】已知函数f(x)?2x3?ax2?b. （1）讨论f(x)的单调性；
（2）是否存在a,b，使得f(x)在区间[0,1]的最小值为?1且最大值为1？若存在，求出a,b的所有值；若不存在，说明理由.
【答案】（1）见解析；（2）?2?a?4?a?0. 或??b??1?b?1【解析】（1）f?(x)?6x?2ax?2x(3x?a)． 令f?(x)?0，得x=0或x?若a>0，则当x?(??,0)U?a. 3?a??a??a?,???时，f?(x)?0；当x??0,?时，f?(x)?0．故f(x)在(??,0),?,????3??3??3?单调递增，在?0,
?
?a?
?单调递减； 3?
若a=0，f(x)在(??,??)单调递增；
若a<0，则当x????,??a?a??a????U(0,??)??,x?,0时，；当时，．故在f(x)?0f(x)?0f(x)?????,(0,??)3?33????单调递增，在??a?,0?单调递减. ?3?（2）满足题设条件的a，b存在.
（i）当a≤0时，由（1）知，f(x)在[0，1]单调递增，所以f(x)在区间[0，l]的最小值为f(0)=b，最大值为
f(1)?2?a?b.此时a，b满足题设条件当且仅当b??1，2?a?b?1，即a=0，b??1．
（ii）当a≥3时，由（1）知，f(x)在[0，1]单调递减，所以f(x)在区间[0，1]的最大值为f(0)=b，最小值为
f(1)?2?a?b．此时a，b满足题设条件当且仅当2?a?b??1，b=1，即a=4，b=1．
a3?a??b，最大值为b或2?a?b． （iii）当0