小学奥数系统讲义完整版

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小学奥数知识点分类

小学奥数大约 80 个知识点,可分成 5 大类,数论和行程是重点也是难点。

计算能力 速算与巧算、分数百分数、循环小数、分数拆分、四则混合运算等等 基础知识 和差倍、年龄、植树、周期、鸡兔、方阵、逻辑、容斥、排列组合等 图形问题 平面图形、立体图形、几何计数、周长面积、表面积体积、阴影面积 相遇、追及、行程、流水、过桥、时钟、圆周、发车间隔等等 行程问题 数论问题 平方数、奇数、偶数、约数、倍数、质数、合数、整除、余数、进制

第一部分

计算能力

万丈高楼平地起,计算能力任何时候都是学好数学的根基,必须高度重视! 基本公式 1. 运算顺序

第一级:括号:( )→[ ] → { } 第二级:×÷: 同一级别可以交换运算次序 第三级:+-: 同一级别可以交换运算次序 2. 去括号

① a+(b+c)=a+b+c a+(b-c)=a+b-c ② a-(b+c)=a-b-c a-(b-c)=a-b+c ③ a×(b×c)=a×b×c a×(b÷c)=a×b÷c ④ a÷(b×c)=a÷b÷c a÷(b÷c)=a÷b×c 3. 分配律/结合律

乘法: a×(b+c) = a×b+a×c

a×b+a×c = a×(b+c)

除法:(a+b) ÷c = a÷c+b÷ c

a÷c+b÷ c = (a+b) ÷c

4. 两个必须掌握的性质 两个数的和一定,

则两数越相近,积越大 两个数的积一定,则两数越分散,和越大 5. 几个计算公式

完全平方和(差)公式:(a±b)2 = a2±2ab+b2

方差公式: a2-b2

= (a+b)(a-b) 求和公式一:1+2+3+??+n =

求和公式二:12+22+32+??n2 = 求和公式三:13+23+33+??n3 = 6. 速算巧算基本方法 凑整法、改变运算次序法、连续数求和、基准

法、分组法、拆分法 7. 等差数列,等比数列,【拆分与裂项】,【换元法】,【错位相消法】,

【构造法】等较难的计算方法。 拆分裂项公式:

等差数列公式:

简单等比公式:

例题分析

1. 393+404+397+398+405+401+400+399+391+402

2. 比较下面 A,B 两数的大小:A=2009×2009, B=2008×2010

3.

结果末尾有多少个零?

4. 100 +99+98-97-96-95+??+10+9+8-7-6-5+4+3+2-1

巩固练习

5. 376+385+391+380+377+389+383+374+366+378

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6. 1÷50+2÷50+3÷50+??50÷50

2010 ÷2010

7. 9999999×2009

7777×3333÷1111

8.

9. 比较下面 A,B 两数的大小:

A=987654321×123456789;

B=987654322×123456788

10. 1996+1994-1992-1990+1988+1986-1984-1982+1980+1978

-1976-1974+1972+1970??+4+2

第二部分 基础知识

基础知识点列表

序号 知识点名称 序号 知识点名称 序号 知识点名称 1 归一归总 9 鸡兔问题 17 加法乘法原理 2 和差问题 10 方阵问题 18 排列与组合 3 和倍问题 11 抽屉问题 19 商品利润 4 差倍问题 12 容斥问题 20 存款利息 5 植树问题 13 逻辑问题 21 浓度问题 6 年龄问题 14 数字谜 22 工程问题 7 盈亏问题 15 等差数列 23 正反比例 8 周期问题 16 一笔画 24 牛吃草问题 A 归一问题

【含义】在解题时,先求出一份是多少(即单一量),然后以单一量为标 准,求出所要求的数量。这类应用题叫做归一问题。 【数量关系】 总量÷份数=1 份数量

1 份数量×所占份数=所求几份的数量

另一总量÷(总量÷份数)=所求份数

【解题思路】先求出单一量,以单一量为标准,求出所要求的数量。

【例题】买 5 支铅笔要 0.6 元钱,买同样的铅笔 16 支,需要多少钱? 解:(1)买 1 支铅笔多少钱?0.6÷5=0.12(元) (2)买 16 支铅笔需要多少钱?0.12×16=1.92(元) 列成综合算式:0.6÷5×16=0.12×16=1.92(元) 答:需要 1.92 元。 11. 3 台拖拉机 3 天耕地 90 公顷,5 台拖拉机 6 天耕地多少公顷?

12. 5 辆汽车 4 次可以运送 100 吨钢材,如果用同样的 7 辆汽车运送 105

吨钢材,需要运几次?

A 归总问题

【含义】解题时,常常先找出“总数量”,然后再根据其它条件算出所求的问题,叫归总问题。所谓“总数量”是指货物的总价、几小时(几天)的总工作量、几公亩地上的总产量、几小时行的总路程等。

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【数量关系】 1 份数量×份数=总量

总量÷1 份数量=份数

总量÷另一份数=另一每份数量

【解题思路】先求出总数量,再根据题意得出所求的数量。

【例题】服装厂原来做一套衣服用布 3.2 米,改进裁剪方法后,每套衣服

用布 2.8 米。原来做 791 套衣服的布,现在可以做多少套? 解:(1)这批布总共有多少米? 3.2×791=2531.2(米) (2)现在可以做多少套? 2531.2÷2.8=904(套) 列成综合算式 3.2×791÷2.8=904(套) 答:现在可以做 904 套。

13. 小华每天读 24 页书,12 天读完了《红岩》一书。小明每天读 36 页书,几天可以读完《红岩》?

14. 食堂运来一批蔬菜,原计划每天吃 50 千克,30 天慢慢消费完这批蔬

菜。后来根据大家的意见,每天比原计划多吃 10 千克,这批蔬菜可 以吃多少天?

A 和差问题

【含义】已知两个数量的和与差,求两个数量各是多少,这类应用题叫和 差问题。

【数量关系】大数=(和+差)÷ 2

小数=(和-差)÷ 2

【解题思路】简单的题目可以直接套用公式;复杂的题目变通后再用公式。

【例题】甲乙两班共学生 98 人,甲班比乙班多 6 人,求两班各有多少人? 解:甲班人数=(98+6)÷2=52(人) 乙班人数=(98-6)÷2=46(人) 答:甲班有 52 人,乙班有 46 人。 15. 长方形的长和宽之和为 18 厘米,长比宽多 2 厘米,求长方形的面积?

16. 有甲乙丙三袋化肥,甲乙两袋共重 32 千克,乙丙两袋共重 30 千克,

甲丙两袋共重 22 千克,求三袋化肥各重多少千克。

17. 甲乙两车原来共装苹果 97 筐,从甲车取下 14 筐放到乙车上,结果甲 车比乙车还多 3 筐,两车原来各装苹果多少筐?

A 和倍问题

【含义】已知两个数的和及大数是小数的几倍(或小数是大数的几分之 几),要求这两个数各是多少,这类应用题叫做和倍问题。 【数量关系】总和 ÷(几倍+1)=较小的数

总和 - 较小的数 = 较大的数

较小的数 ×几倍 = 较大的数

【解题思路】简单的题目直接利用公式,复杂的题目变通后利用公式。 【例题】果园里有杏树和桃树共 248 棵,桃树的棵数是杏树的 3 倍,求杏 树、桃树各多少棵?

解:(1)杏树有多少棵? 248÷(3+1)=62(棵) (2)桃树有多少棵? 62×3=186(棵) 答:杏树有 62 棵,桃树有 186 棵。

18. 东西两个仓库共存粮 480 吨,东库存粮数是西库存粮数的 1.4 倍,求

两库各存粮多少吨?

19. 甲站原有车 52 辆,乙站原有车 32 辆,若每天从甲站开往乙站 28 辆,

从乙站开往甲站 24 辆,几天后乙站车辆数是甲站的 2 倍?

20. 甲乙丙三数之和是 170,乙比甲的 2 倍少 4,丙比甲的 3 倍多 6,求三

数各是多少?

A 差倍问题

【含义】已知两个数的差及大数是小数的几倍(或小数是大数的几分之 几),要求这两个数各是多少,这类应用题叫做差倍问题。 【数量关系】两个数的差÷(几倍-1)=较小的数

较小的数×几倍=较大的数

【解题思路】简单的题目直接利用公式,复杂的题目变通后利用公式。

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【例题】果园里桃树的棵数是杏树的 3 倍,而且桃树比杏树多 124 棵。求 杏树、桃树各多少棵? 解:(1)杏树有多少棵? 124÷(3-1)=62(棵) (2)桃树有多少棵? 62×3=186(棵) 答:果园里杏树是 62 棵,桃树是 186 棵。 21. 爸爸比儿子大 27 岁,今年,爸爸的年龄是儿子年龄的 4 倍,求父子

二人今年各是多少岁?

22. 商场改革经营管理办法后,本月盈利比上月盈利的 2 倍还多 12 万元,又知本月盈利比上月盈利多 30 万元,这两个月盈利各是多少万元?

23. 粮库有 94 吨小麦和 138 吨玉米,如果每天运出小麦和玉米各是 10 吨,

多少天后,玉米是小麦的 12 倍?

A 植树问题 基本类型及公式:

①在直线上或者不封闭的曲线上植树,两端都植树。 基本公式:棵树=段数+1;棵距(段长)×段数=总长 ②在直线上或者不封闭的曲线上植树,两端都不植树。 基本公式:棵树=段数-1;棵距(段长)×段数=总长 ③在封闭曲线上植树: 基本公式:棵树=段数;棵距(段长)×段数=总长 关键问题:确定所属类型,从而确定棵数与段数的关系。

【例题】一条河堤 136 米,每隔 2 米栽一棵垂柳,头尾都栽,共栽多少棵

垂柳?

解:136÷2+1=68+1=69(棵) 答:一共要栽 69 棵垂柳。 24. 一个圆形池塘周长为 400 米,在岸边每隔 4 米栽一棵白杨树,一共能

栽多少棵白杨树?

25. 甲乙丙三人锯同样粗细的钢条,分别领取 1.6 米,2 米,1.2 米长的

钢条,要求都按 0.4 米规格锯开,劳动结束后,甲乙丙分别锯了 24 段,25 段,27 段,谁锯钢条的速度最快?

26. 某一淡水湖的周长 1350 米,在湖边每隔 9 米种柳树一株,在两株柳树

中间种植 2 株夹枝桃,可栽柳树多少株?可栽夹枝桃多少株?两株夹枝 桃之间相距多少米?

27. 一座大桥长 500 米,给桥两边的电杆上安装路灯,若每隔 50 米有一

个电杆,每个电杆上安装 2 盏路灯,一共可以安装多少盏路灯?

A

年龄问题

【含义】这类问题是根据题目的内容而得名,它的主要特点是两人的年龄 差不变,但是,两人年龄之间的倍数关系随着年龄的增长在发生变化。 【数量关系】年龄问题往往与和差、和倍、差倍问题有着密切联系,尤其 与差倍问题的解题思路是一致的,要紧紧抓住“年龄差不变”这个特点。 【解题思路】可以利用“差倍问题”的解题思路和方法。

【例题】爸爸今年 35 岁,亮亮今年 5 岁,今年爸爸的年龄是亮亮的几倍? 明年呢?

解 35÷5=7(倍) (35+1)÷(5+1)=6(倍) 答:今年爸爸的年龄是亮亮的 7 倍,明年爸爸的年龄是亮亮的 6 倍。 28. 母亲今年 37 岁,女儿 7 岁,几年后母亲年龄是女儿的 4 倍?

29. 3 年前父子的年龄和是 49 岁,今年父亲的年龄是儿子年龄的 4 倍,父

子今年各多少岁?

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30. 甲对乙说:“当我的岁数曾经是你现在的岁数时,你才 4 岁”。乙对

甲说:“当我的岁数将来是你现在的岁数时,你将 61 岁”。求甲乙 现在的岁数各是多少?

A 盈亏问题

【含义】根据一定的人数,分配一定的物品,在两次分配中,一次有余(盈), 一次不足(亏),或两次都有余,或两次都不足,求人数或物品数,这类 应用题叫做盈亏问题。

【数量关系】一般地说,在两次分配中,如果一次盈,一次亏,则有: 参加分配总人数=(盈+亏)÷分配差 如果两次都盈或都亏,则有: 参加分配总人数=(大盈-小盈)÷分配差 参加分配总人数=(大亏-小亏)÷分配差

【解题思路】大多数情况可以直接利用数量关系的公式。

【例题】给幼儿园小朋友分苹果,若每人分 3 个就余 11 个;若每人分 4 个就少 1 个。问有多少小朋友?有多少个苹果? 解:按照“参加分配的总人数=(盈+亏)÷分配差”的数量关系:

(1)有小朋友多少人? (11+1)÷(4-3)=12(人) (2)有多少个苹果? 3×12+11=47(个) 答:有小朋友 12 人,有 47 个苹果。 31. 修一条公路,如果每天修 260 米,修完全长就得延长 8 天;如果每天

修 300 米,修完全长仍得延长 4 天。这条路全长多少米?

32. 学校组织春游,如果每辆车坐 40 人,就余下 30 人;如果每辆车坐 45

人,就刚好坐完。问有多少车?多少人?

A 周期问题

在日常生活中,有一些现象按照一定的规律不断重复出现。如:人调

查十二生肖:鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪;一年 有春夏秋冬四个季节;一个星期有七天等。像这样日常生活中常碰到的有 一定周期的问题,我们称为简单周期问题。这类问题一般要利用余数的知

识来解决。 在研究这些简单周期问题时,我们首先要仔细审题,判断其不断重复出 现的规律,也就是找出循环的固定数,如果正好有个整数周期,结果为周 期里的最后一个;如果不是从第一个开始循环,利用除法算式求出余数, 最后根据余数的大小得出正确的结果。 周期现象:事物在变化过程中,某些特征有规律循环出现。 周期:我们把连续两次出现所经过的时间叫周期。 闰年:四年一闰,百年不闰,四百年再闰; 月份:1、3、5、7、8、10、12 月大。

解答周期问题的关键: A 找出周期 T,

A 考察余数,注意周期的首尾两数。 例题分析

【例 1】元旦是星期日,那么同年的国庆节是星期几? 【解】平年元旦到国庆节共有的天数: 31+28+31+30+31+30+31+31+30+1=274; 循环的周期和余数:274÷7=39?1; 平年的国庆节是星期日;[整周期的第一个数] 闰年元旦到国庆节共有的天数:274+1=275; 循环的周期和余数:275÷7=39?2; 闰年的国庆节是星期一;[整周期的第二个数]

【例 2】甲、乙、丙三名学生,每天早晨轮流为李奶奶取牛奶,甲第一次 取奶是星期一,那么,他第 100 次取奶是星期 。 【解】21 天内,每人取奶 7 次,甲第 8 次取奶又是星期一,即每取 7 次奶 为一个周期 100÷7=14??2,所以甲第 100 次取奶是星期二。

基础务实

33. 1989 年 12 月 5 日是星期二,那么再过十年的 12 月 5 日是星期几?

34. 《小学生数学报》每周星期五出版一期,1994 年 10 月份第 1 期是 10

月 7 日出版的,1995 年 1 月份第 1 期应在 1 月几日出版?

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