+ C3 = 6561.92 B4 = B3 × 14148 14661
+ C4 = 10332.31 B5 = B4 × 16836 14148
+ C5 = 17295.36
C1(1 + r)4 + C2(1 + r)3 + C3(1 + r)2 + C4(1 + r) + C5 = 17295.36 解得：r ≈ 10.60% 第13 页
对于投资者B, B0 = 0
B1 = C1 = 3000 B2 = B1 × 12694 11710
+ C2 = 6252.09 B3 = B2 × 14661 12694
+ C3 = 10220.89 B4 = B3 × 14148 14661
+ C4 = 12863.25 B5 = B4 × 16836 14148
+ C5 = 18307.16
C1(1 + r)4 + C2(1 + r)3 + C3(1 + r)2 + C4(1 + r) + C5 = 18307.16 解得：r ≈ 9.98% 对于投资者C, B0 = 0
B1 = C1 = 5000 B2 = B1 × 12694 11710
+ C2 = 9420.15 B3 = B2 × 14661 12694
+ C3 = 13879.86 B4 = B3 × 14148 14661
+ C4 = 15394.19 B5 = B4 × 16836 14148
+ C5 = 19318.96
C1(1 + r)4 + C2(1 + r)3 + C3(1 + r)2 + C4(1 + r) + C5 = 19318.96 解得：r ≈ 9.68%
第14 页
第四章习题答案
1 现有1000 元贷款计划在5 年内按季度偿还。已知季换算名利率6%，计算第2 年底的未结贷款余额。
解： 设每个季度还款额是R ，有 Ra(4) 5p6%
￢ = 1000
解得R ，代入B2 的表达式 B2 = Ra(4) 3p6%
￢ = 635.32 元
2 设有10000 元贷款，每年底还款2000 元，已知年利率12% ，计算借款人的还 款总额等于原贷款额时的未结贷款余额。 解： n = 10000 2000 = 5
B5 = 10000 × (1 + i)n ? 2000snp12% ￢ = 4917.72 元
3 某贷款在每季度末偿还1500 元，季换算名利率10% ，如果已知第一年底的未 结贷款余额为12000 元，计算最初的贷款额。 解： 以季度为时间单位，i = 2.5% 。 B0 = B1 ? v + 1500a4pi ￢ = 16514.4 元
4 某贷款将在15 年内分期偿还。前5 年每年底还4000 元，第二个5 年每年底还 3000 元，最后5 年每年底还2000 元。计算第二次3000 元还款后的未结贷款 余额的表达式。
解： 对现金流重新划分，有 B7 = 2000a￢8p + 1000a￢3p 第1 页
5 某贷款将以半年一次的年金方式在3 年半内偿还，半年名利率8% 。如果已知 第4 次还款后的未结贷款余额为5000 元，计算原始贷款金额。 解： 设原始贷款额为L ，每次还款为R ，以半年为时间单位，有
5000 = Ra3p4% ￢ L = Ra7p4% ￢ 整理得：
L = 5000 ? a￢7p a￢3p
= 10814.16 元
6 现有20000 元贷款将在12 年内每年底分期偿还。若(1+i)4 = 2 ，计算第4 次 还款后的未结贷款余额。
解： 设第4 次还款后的未结贷款余额为L ，每次还款为R ，有
20000 = R ? a12pi ￢ L = R ? a8pi ￢ 把(1 + i)4 = 2 代入整理得： L = 5000 ? 1 ? (1 + i)?8 1 ? (1 + i)?12 = 17142.86 元
7 20000 元抵押贷款将在20 年内每年分期偿还，在第5 次还款后，因资金短缺， 随后的两年内未进行正常还贷。若借款人从第8 年底重新开始还贷，并在20 年内还清。计算调整后的每次还款额。
解： 设正常每次还款为R ，调整后每次还款X ，以当前时间和第5 年底为比较 日，有
20000 = Ra2￢0p
Xa1￢3p ? v2 = Ra1￢5p 整理得：
X = 20000 ? a15p ￢ a2￢0p
? (1 + i)2 a1￢3p 第2 页
8 某贷款L 原计划在25 年内分年度等额还清。但实际上从第6 次到第10 次的 还款中每次多付K 元，结果提前5 年还清贷款。试证明： K =
a2￢0p ? a1￢5p a2￢5p a￢5p L 证： 以第20 年年底为比较日，设每次还款为R ，有
L = Ra2￢5p
Ks￢5p (1 + i)10 = Ra￢5p 整理即得。
9 设Bt 表示未结贷款余额，证明： (1) (Bt ? Bt+1)(Bt+2 ? Bt+3) = (Bt+1 ? Bt+2)2; (2) Bt + Bt+3 < Bt+1 + Bt+2 证： (1) (Bt ? Bt+1)(Bt+2 ? Bt+3) = ( R + Bt+1 1 + i ? Bt+1) ? (Bt+2 ? ((1 + i)Bt+2 ? R))
=
R ? iBt+1 1 + i ? (R ? iBt+2) = (R ? iBt+1) ? R ? i((1 + i)Bt+1 ? R) 1 + i = (R ? iBt+1)2 = (Bt+1 ? Bt+2)2
(2)
Bt ? Bt+1 = R ? iBt < R ? iBt+2 = Bt+2 ? Bt+3
) Bt + Bt+3 < Bt+1 + Bt+2
默认每次还款额是相同的！ 第3 页
10 某贷款按季度分期偿还。每次1000 元，还期5 年，季换算名利率12%。计算 第6 次还款中的本金量。 解：
P6 = B5 ? B6 = 1000a20?5p3% ￢ ? 1000a20?6p3% ￢ = 1000 × 1.03?15 = 641.86 元
11 n 年期贷款，每年还款1元。试导出支付利息的总现值(去掉：之和)。 解： 设第t 年支付的利息为It ，有 It = iBn+1?t = ian+1?￢tp = 1 ? vn+1?t 支付利息的总现值为： I = Σn t=1
Itvt = Σn t=1 (1 ? vn+1?t)vt = a￢np ? nvn+1
12 设10000 元贷款20 年还清，年利率10%，证明第11 次中的利息为 1000
1 + v10 元。
此处有改动10000改成1000 第4 页
证： 设每期还款额为R ，由上题的结论有 I11 = R(1 ? v10) = 10000
a2￢0p (1 ? v10) = 10000 ? i 1 + v10 = 1000 1 + v10
13 设有20 次分期还贷，年利率9%。问：第几次还款中的本金量与利息量差额 最小。
解： 不妨设每次还款额为1。 Pt ? It = vnt+1 ? (1 ? vn?t+1) = 2vn?t+1 ? 1 由 2vn?t+1 ? 1 = 0 ? t ≈ 12.96
验证t = 12, 13 的情形易得第13 次本金量与利息量差额最小。
14 现有5 年期贷款，分季度偿还。已知第3 次还款中的本金为100 元，季换算 的名利率10%。计算最后5 次还款中的本金量之和。
解： 以一季度为时间单位，设每次还款额为R，由题意得 Rv20?3+1 = 100 ? R = 100 v18
于是最后5 次本金总额为
R(v1 + ? ? ? + v5) = 724.59 元 第5 页
15 现准备用20 年时间分期偿还一笔贷款，且已知前10 年的年利率为i ，后10 年的年利率为j 。计算：(1) 第5 次偿还中的利息量；(2) 第15 次偿还中的本 金量。
解： 设初始贷款量为1 ，每年还款额为R ，有： 1 = Ra10pi ￢ + Ra10pj ￢ (1 + i)?10 ) R = 1
a10pi ￢ + (1 + i)?10a10pj ￢ (1) I5 = iB4
= iR(a6pi ￢ + (1 + i)?6a10pj ￢ ) (2) P15 = B14 ? B15 = Ra6pj ￢ ? Ra5pj ￢