解得: i 0 = 0.05 故：i = (1 + i 0 )2 ? 1 = 0.1025
33.甲在1997年元旦借给乙1000元，要求乙按下面方式偿还：分别于1998年 和1999年元旦偿还100元，于2000年元旦偿还1000元。在1998年元旦（正常还 款后）甲因急需资金，将剩余的偿还以960元的价格转让给丙。如果甲乙合约的年 利率为，甲丙合约的年利率为，比较和的大小。 解： 价值方程：
正常: 1000 = 100(1 + j)?1 + 100(1 + j)?2 + 1000(1 + j)?3 转让: 960 = 100(1 + k)?1 + 1000(1 + k)?2 解得：j = 6.98%, k = 7.4% 从而:j < k 34.如果常数利息力增加一倍，计算等价的年利率和年贴现率增加的倍数。 第10 页
解： 和δ等价的年利率i = eδ ? 1,年利率变化： e2δ ? eδ eδ ? 1 = eδ 和δ等价的年贴现率1 ? e?δ = d, 年贴现率变化： e?δ ? e?2δ 1 ? e?δ = e?δ 35．证明： lim d!0 δ ? d δ2 = lim i!0 i ? δ δ2 = 1 2 证： lim d!0 δ ? d δ2 = lim δ!0 δ ? 1 + e?δ δ2 = lim δ!0 1 ? e?δ 2δ = lim δ!0 e?δ 2 = 1 2 lim i!0 i ? δ δ2 = lim δ!0 eδ ? δ ? 1 δ2 = lim δ!0 eδ ? 1 2δ = lim δ!0 eδ 2 = 1 2
36.某厂家对零售商提供两种折扣：付现款可低于零售价格30％；6个月后付款， 可低于零售价格25％。如果两种方式等价，计算对应的年利率。 解: 设货款为S,半年实利率为i 0 ,则有：0.7S(1 + i 0 ) = 0.75S 解得：1 + i 0 = 1.0714 故i = (1 + i 0 )2 ? 1 = 14.80%
37．令0 < t < 1，用以下三种方法计算时刻1的1元在时刻的价值： 1)在(t, 1)内单利计算； 2）复利计算；
3）单利方式：先计算它在0时刻的价值然后累积到时刻t。 在相同的利率水平下试对以上三个结果比较大小。 解： 1)单利方式：X1(1 + (1 ? t)i) = 1
2)复利方式：X2(1 + i)1?t = 1 3)单利方式：X3 = (1+ti) 1+i 由Taylor展开易证：(1 + i)1?t > 1 + (1 ? t)i (1 + i)t < 1 + it 故X1 < X2 < X3
38．基金A以年利率6％累积；基金B以年利率8％累积。第10年底两个基金的终值 之和为2000元，第10年底基金A为基金B的一半。计算第5年底两个基金的资本之 和。(原来的答案有误) 第11 页
解： 设基金A,B的本金为A,B:
A(1 + 0.06)10 + B(1 + 0.08)10 = 1000 A(1 + 0.0610) = 0.05B(1 + 0.08)10 解得：
A(1 + 0.06)5 = 498.17 B(1 + 0.08)5 = 907.44
从而5年底的累积值和=1405.61
39．已知第一年的实利率i1与第二年的实贴现率d2数值相同，第一年初的1000元 在第二年底的终值为1200元。计算i1。
解: 设第二年的实利率i2,由题意：i1 = d2 = i2 1+i2 从而：
1000(1 + i1)(1 + i2) = 1000( 1 + 2i2 1 + i2
)(1 + i2) = 1200
解得：i2 = 0.1，进而i1 = 1 11
40.甲以名利率i(2) = 10购得1000份100元面额的26周国债。 1)计算价格P；
2)近似推导名利率i(2)的波动对价格P的影响( dP di(2) )；
3)当名利率波动一个百分点时，近似计算价格P的波动范围。(待查) 解： 1)P = 1000 × 100 × (1 + i(2) 2 )?1 = 95238.095 2)P = 105 1+i(2) 2 ( dP di(2) ) = ? 2￡105 (2+i(2))2
3)(| dP di(2) |)| i(2)=10% = 4.5351 × 104 即波动范围：95238.095 ± 453.51 41．对j > 0，证明： 1) f(m) = (1 + j m)m是m的递增函数; 2) g(m) = m[(1 + j) 1 m ? 1]是m的递减函数。 解： 1) f 0 (m) = 1 m(1 + j m)mln(1 + j m), j > 0,m > 0, f 0 (m) > 0
2) 令y = ln(1 + j)/m,则原式化为： ey ? 1 y ln(1 + j) (j > 0)
由Taylor展开可见上式关于y增,由复合函数性质得证。
42.面额100元的26周国债名收益率11.07％。证明：售价在94.767到94.771之间时， 均可保持这个收益率。(题意不理解，暂无修改意见) 第12 页
第二章习题答案
1．某家庭从子女出生时开始累积大学教育费用5万元。如果它们前十年每年底存 款1000元，后十年每年底存款1000+X 元，年利率7%。计算X 。 解： S = 1000s20p7% ￢ + Xs10p7% ￢ X = 50000 ? 1000s20p7% ￢ s10p7% ￢ = 651.72
2．价值10,000元的新车。购买者计划分期付款方式：每月底还250元，期限4年。 月结算名利率18%。计算首次付款金额。 解： 设首次付款为X ，则有 10000 = X + 250a48p1.5% ￢ 解得X = 1489.36
3．设有n年期期末年金，其中年金金额为n，实利率i = 1
n 。试计算该年金的现值。 解：
PV = nanpi ￢ = n 1 ? vn 1
n =
(n + 1)nn2 ? nn+2 (n + 1)n 4．已知：a￢np = X，a2￢np = Y。试用X和Y表示d 。 解： a2￢np = a￢np + a￢np (1 ? d)n 则 d = 1 ? (
Y ? X X ) 1
n 5．已知：a￢7p = 5.58238, a1￢1p = 7.88687, a1￢8p = 10.82760。计算i。 解：
a1￢8p = a￢7p + a1￢1p v7 解得i = 6.0% 6.证明： 1 1?v10 = s1￢0p +a1￢p s1￢0p 。 第1 页 证明：
s1￢0p + a∞￢p s1￢0p = (1+i)10?1 i + 1
i (1+i)10?1
i = 1 1 ? v10
7．已知：半年结算名利率6%，计算下面10年期末年金的现值：开始4年每半 年200元，然后减为每次100元。 解：
PV = 100a8p3% ￢ + 100a20p3% ￢ = 2189.716
8．某人现年40岁，现在开始每年初在退休金帐号上存入1000元，共计25年。然 后，从65岁开始每年初领取一定的退休金，共计15年。设前25年的年利率为8%， 后15年的年利率7%。计算每年的退休金。
解： 设每年退休金为X，选择65岁年初为比较日 1000¨s25p8% ￢ = X¨a15p7% ￢ 解得X = 8101.65
9．已知贴现率为10%，计算a¨￢8p 。