2 = 1 (1 ? d) 1 2
设递延时间为t，由题意得 10000 = 2 × 500vt ¨a(2) ∞p ￢ 解得t =
ln 20 + ln(1 ? (1 ? d) 1 2 ) ln(1 ? d)
37. 计算：3a(2) np ￢ = 2a(2) 2np ￢ = 45s(2) 1p ￢ ，计算i 。 解： 3 × i i(2) anpi ￢ = 2 × i i2 anpi ￢ = 45 × i i2 s1pi ￢ 解得：vn = 1 2 , i = 1 30 。
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38.已知i(4) = 16%。计算以下期初年金的现值：现在开始每4个月付款1元， 共12年。（问题） 解：
39.已知：δt = 1 1+t 。求aˉ￢np 的表达式。 解：
aˉ￢np = ∫ n 0
e? R t 0 δsdsdt = ln(1 + n)
40.已知一年内的连续年金函数为常数1，计算时刻t，使得只要在该时刻一次性支 付一个货币单位，则两种年金的现值相等。 解： 第一种年金的现值为∫ 1 0
vtdt = 1 ? e?δ δ 第二种年金的现值为e?δt，则 1 ? e?δ δ = e?δt 所以t = 1 + 1 δ ln δ i 41.已知：δ = 0.08。计算从现在开始每个季度初存入100元的20年期初年金的现 值。（结果和李凌飞的不同）
解： 设季度实利率为i。因a(t) = eδt，则e 1
4 δ = (1 + i) 所以
PV = 100¨a80pi ￢ = 100(1 + i) 1 ? v80
i = 4030.53
42.现有金额为40,000元的基金以4%的速度连续累积。同时每年以2400元的固定 速连续地从基金中取钱，该基金可以维持多少时间？ 解： 设年实利率为i，则i = eδ ? 1 设基金可维持t年，由两现值相等得 40000 = 2400atpi ￢ 解得t = 28 第8 页
43.已知某永久期末年金的金额为：1，3，5，. . . 。另外，第6次和第7次付款的现值 相等，计算该永久年金的现值。 解： 由题意： 11 (1+i)6 = 13 (1+i)7 ? i = 2 11
PV = v + 3v2 + · · · + (2n ? 1)vn + · · · = v[1 + PV + 2(v + v2 + · · · )] = v(1 + PV + 2 v 1?v )
解得:PV = 66
44.给出现值表达式Aa￢np + B(Da)n|所代表的年金序列。用这种表达式给出如 下25年递减年金的现值：首次100元，然后每次减少3元。
解： 年金序列：A + nB,A + (n ? 1)B, . . . ,A + 2B,A + B 所求为25a2￢5p + 3(Da)25| 45. 某期末年金（半年一次）为：800, 750, 700, . . . , 350。已知半年结算名利率 为16％。若记：A = a10p8% ￢ ，试用A表示这个年金的现值。 解： 考虑把此年金分割成300元的固定年金和500元的递减，故有： 300a10p8% ￢ + 500(Da)10|8% = 300A + 2 × (10 ? A) i(2) = 6250 ? 325A 46. 年利率8％的十年储蓄：前5年每年初存入1000元，然后每年递增5％。计算第 十年底的余额。 解： 由题意：
AV =1000s5p8% ￢ (1 + 8%)6 + (1000 × 1.05 × 1.085+
1000 × 1.052 × 1.084 + · · · + 1000 × 1.055 × 1.08) =1000
(1 + 8%)5 ? 1 8%
1.086 + 1000 × 1.05 × 1.085 1 ? ( 1.05 1.08 )5 1 ? 1.05 1.08
=16606.72
47. 已知永久年金的方式为：第5、6年底各100元；第7、8年底各200元，第9、10年 底各300元，依此类推。证明其现值为: 100 v4
i ? vd 第9 页
解： 把年金分解成：从第5年开始的100元永久年金，从第7年开始的100元永久 年金. . .。从而 PV =v4 100
i 1
a2pi ￢ 1
i = 100v4 1
i 1 1 ? v2 = 100 v4
i ? vd 48. 十年期年金：每年的1月1日100元；4月1日200元；7月1日300元；10月1日400元。 证明其现值为：
1600a¨1￢0p (I(4)a¨)(4)
1| 元
证： 首先把一年四次的付款折到年初：m = 4, n = 1,R = 100m2 = 1600 从而每年初当年的年金现值： 1600(I(4)¨a)(4) 1| 元
再贴现到开始时：
1600a¨1￢0p (I(4)a¨)(4) 1| 元
49. 从现在开始的永久年金：首次一元，然后每半年一次，每次增加3％，年利 率8％，计算现值。
解： 半年的实利率：j = (1 + 8%) 1 2 ? 1 = 3.923% PV = 1 + 1.03 1 + j + 1.032
(1 + j)2 + · · · = (1 ? 1.03 1 + j )?1
= 112.59
50. 某人为其子女提供如下的大学费用：每年的前9个月每月初500元，共计4年。 证明当前的准备金为： 6000a¨￢4p a¨(12) 9/12| 证： 首先把9个月的支付贴现到年初：m = 12, n = 9/12,R = 500m = 6000 从而 每年初当年的年金现值： 6000¨a(12) 9/12| 贴现到当前：
6000a¨￢4p a¨(12) 9/12| 第10 页
51. 现有如下的永久年金：第一个k 年每年底还；第二个k 年每年底还2R ；第三 个k 年每年底还3R；依此类推。给出现值表达式。
解： 把此年金看成从第nk年开始的每年为R的永久年金(n = 0, 1, 2, · · · ): 每个年金的值为 Ra∞￢p
在分散在每个k年的区段里：
Ra∞| ak| 再按标准永久年金求现值：
R(a∞|)2 ak| 52.X表示首次付款从第二年底开始的标准永久年金的现值，20X表示首次付款 从第三年底开始的永久年金：1, 2, 3, · · · 的现值。计算贴现率。
解： 由题意： X = 1
i 1 1+i 20X = ( 1 i + 1 i2 ) 1 (1+i)2
解得：i = 0.05 即：d = i 1+i = 0.04762
53. 四年一次的永久年金：首次1元，每次增加5元，v4 = 0.75，计算现值。与原答 案有出入
解： (期初年金)
PV = 1 + 6v4 + 11v9 + · · · = Σ∞ i=1 (5n ? 4)v(4n?4) = 5 (1 ? v4)2 ? 4 1 ? v4 = 64 (期末年金)
P¨V = v + 6v5 + 11v10 + · · · = v · PV = 59.5587
54. 永久连续年金的年金函数为:(1 + k)t，年利率i，如果：0 < k < i ，计算该年 金现值。与原答案有出入
解： 由于0 < k < i，故下列广义积分收敛： PV = ∫ ∞ 0
(1 + k)te?δtdt = ∫ ∞ 0 ( 1 + k 1 + i )tdt =