激光原理与激光技术习题答案
习题一
(1)为使氦氖激光器的相干长度达到1m，它的单色性??/?应为多大？
?10解： R??????6328?10?6.328?10?10
?Lc1000(2) ?=5000?的光子单色性??/?=10-7，求此光子的位置不确定量?x
2?10解： p?h ?p?h?? ?x?p?h ?x?h?????5000?10?5m
2?7???p??R10(3)CO2激光器的腔长L=100cm，反射镜直径D=1.5cm，两镜的光强反射系数分别为r1=0.985,r2=0.8。求由衍射损耗及输
出损耗分别引起的?、?c、Q、??c(设n=1)
L1?L10.6?10?6?1?8解： 衍射损耗: ??2? ????1.75?10s ?0.188c8?22?c0.188?3?10a(0.75?10)3?108?86Q?2???c?2?3.14??1.75?10?3.11?1010.6?10?6
??c?输出损耗:
116??9.1?10Hz?9.1MHz 2??c2?3.14?1.75?10?8???1lnr1r2??0.5?ln(0.985?0.8)?0.119 2?c?L1?8??2.78?10s 8?c0.119?3?103?108?86Q?2???c?2?3.14??2.78?10?4.96?1010.6?10?6??c?11??5.7?106Hz?5.7MHz ?82??c2?3.14?2.78?10(4)有一个谐振腔，腔长L=1m，两个反射镜中，一个全反，一个半反，半反镜反射系数r=0.99，求在1500MHz的范围内所包含的纵模个数，及每个纵模的线宽(不考虑其它损耗)
c3?108??1500 解： ??q???1.5?108Hz?150MHz ?q?[?1]?[?1]?11
2L2?1??q150??T0.01??0.005 22?c?L1??6.67?10?7s 8?c0.005?3?10 ??c?12??c?1?0.24MHz ?72?3.14?6.67?10(5) 某固体激光器的腔长为45cm，介质长30cm，折射率n=1.5，设此腔总的单程损耗率0.01?，求此激光器的无源腔本征纵模的模式线宽。
解： L??30?1.5?15?60cm ?c? ??c?L?0.6?8??6.366?10s 8?c0.01π?3?1012??c?1 z?2.5MH?82?3.14?6.366?10(6)氦氖激光器相干长度1km，出射光斑的半径为r=0.3mm，求光源线宽及1km处的相干面积与相干体积。
c3?108 解： ?????0.3MHz 3Lc102D2?2106?0.6328?10?12332 V?AL?1.42?10mAc???1.42mccc?42Asπ(3?10) 习题二
1(1)自然加宽的线型函数为
gH(?,?0)(?c12)?4?2(???0)22?c求①线宽②若用矩形线型函数代替（两函数高度相等）再求线宽。
1解：①线型函数的最大值为gN(?0,?0)?4?c 令
(8?c?2(???0)2??c12)?4?2(???0)22?c 1?8?c?2(???0)2?1 ?2?c2?c?c1 1 1 1
(???0)2?????????0N2?c4??c2??c16?2?c2②矩形线型函数的最大值若为 gm?4?c 则其线宽为??N?1?1
gm4?c(2)发光原子以0.2c的速度沿某光波传播方向运动，并与该光波发生共振，若此光波波长?=0.5?m，求此发光原子的静止中心频率。
?0.5? ?s? 解： vz??????1c?0.2c???????1??c?0??0?0.5c3?108 ?0??0.625?m?0.2??1?0???4.8?108MHz?60.8?0?00.625?100.5(3)某发光原子静止时发出0.488?m的光，当它以0.2c速度背离观察者运动，则观察者认为它发出的光波长变为多大？ ?0.2c?v?解： ?0???1?z??0?(1?)?0.488?1.2?0.488?0.5856?m
?c?c(4)激光器输出光波长?=10?m，功率为1w，求每秒从激光上能级向下能级跃迁的粒子数。
d?d?PP?1?10?10?6解：P?h? P?????5?10191/s ?348dtdth?hc6.63?10?3?10(6)红宝石调Q激光器中有可能将几乎全部的Cr+3激发到激光上能级，并产生激光巨脉冲。设红宝石棒直径为1cm，长
为7.5cm，Cr+3的浓度为2?109cm-3，脉冲宽度10ns，求输出激光的最大能量和脉冲功率。 解：W??h?V??rL?h??3.14?0.005?0.075?2?10?6.63?102215?343?108??3.4?10?9J ?106943?10W3.4?10?9P???0.34w ?9t10?10(7)静止氖原子3S2?2P4谱线中心波长0.6328?m，求当它以0.1c速度向观察者运动时，中心波长变为多大？ 0.1c?v?解： ?0???1?z??0?(1?)?0.6328?0.9?0.6328?0.5695?m
?c?c(9)红宝石激光器为三能级系统，已知S32=0.5?1071/s, A31=3?1051/s, A21=0.3?1031/s。其余跃迁几率不计。试问当抽运几
率W13等于多少时，红宝石晶体将对?=0.6943?m的光是透明的？
解： ?dn2?n3S32?n2A21?0 ?n3?A21
dtn2S32S32 W13 A31 dnnA?n3S32n3 ?3?n1W13?n3A31?n3S32?0 ?W13?331?(A31?S32)
dtn1n1A21 3透明即n1=n2 ?W13?n3(A31?S32)?A21(A31?S32)?0.3?10(3?105?0.5?107)?318s?1
7n2S320.5?10 习题三
(1)若光束通过1m长的激光介质以后，光强增大了一倍，求此介质的增益系数。 解： G?1lnI?ln2
zI0(2) 计算YAG激光器中的峰值发射截面S32，已知??F=2?1011Hz,?3=2.3?10-4s,n=1.8。 解：S32?21.062?10?120???1.9?10?22m2 2222?4114?n?3??F4?3.14?1.8?2.3?10?2?10(3) 计算红宝石激光器当?=?0时的峰值发射截面，已知?0=0.6943?m, ??F =3.3 ?1011Hz, ?2=4.2ms, n=1.76。
2?0.69432?10?120解：S???2.84?10?24m2 212222?3114?n?2??F4?3.14?1.76?4.2?10?3.3?10
习题四
(1) 红宝石激光器腔长L=11.25cm，红宝石棒长l=10cm，折射率n=1.75，荧光线宽??F=2?105MHz，当激发参数?=1.16
时，求：满足阈值条件的纵模个数 解： ??T???H??1?2?105?1.16?1?8?104MHz L??L?(n?1)l?11.25?(1.75?1)?10?18.75cm
??Tc3?10880000 ??q???800MHz?q?[?1]?[?1]?10 1?2?2L2?18.75?10??q800(2) 氦氖激光器腔长1m，放电管直径2mm，两镜反射率分别为100%、98%，单程衍射损耗率?=0.04，若Is=0.1W/mm2，Gm=3?10-4/d, 求①?q=?0时的单模输出功率 ②?q=?0+1??D时的单模输出功率 2解：①??T?0.04?0.02?0.04?0.05 Gt???0.05?5?10?51/mm
22l1000 Gm?3?10d?43?10?4Gm1.5?10?4?4 ??1.5?101/mm????3 ?52Gt5?1021P)?0.5?3.14?12?0.02?0.1?(32?1)?25.13mw ?0?2STIs(??1(?q??0)2??i22②P?0?STIs[?e?8ln2?1]?3.14?12?0.02?0.1?(32e?2ln2?1)?7.8mw
(3) 氦氖激光器放电管长l=0.5m，直径d=1.5mm，两镜反射率分别为100%、98%，其它单程损耗率为0.015，荧光线宽??F=1500MHz。求满足阈值条件的本征模式数。（Gm=3?10-4/d） 解：??T?0.015?0.02?0.015?0.025 Gt???0.025?5?10?51/mm
22l5003?10?43?10?4G2?10?4Gm???2?10?41/mm ??m??4 ?5d1.5Gt5?10??T???Dc3?10ln?ln4 ??300MHz?1500??2121MHz ??q?2L2?0.5ln2ln28?q?[??T2121?1]?[?1]?8 ??q300(5) CO2激光器腔长L=1m，，放电管直径d=10mm，两反射镜的反射率分别为0.92、0.8，放电管气压3000Pa。可视为
均匀加宽，并假设工作在最佳放电条件下。求 ①激发参数? ②振荡带宽??T ③满足阈值条件的纵模个数 ④稳定工作时腔内光强。（频率为介质中心频率?0）经验公式：??L=0.049p(MHz)、Gm=1.4?10-2/d（1/mm）、Is=72/d2(w/mm2)。 解：①???1lnr1r2??0.5?ln(0.92?0.8)?0.153 Gt???0.153?1.53?10?41/mm 2l1000 Gm?1.4?10d?21.4?10?2Gm1.4?10?3?3 ??1.4?101/mm????9.15 ?410Gt1.53?10② ??L?0.049p?0.049?3000?147MHz ??T???L??1?147?9.15?1?42M 0Hz??c3?108420③??q???1.5?108Hz?150MHz ?q?[T?1]?[?1]?3
2L2?1??q150④Is?727222 ??0.72w/mmI?I(??1)?0.72?8.15?5.87w/mm?s220d10（6）氦氖激光器放电管直径d=0.5mm，长l=10cm，两反射镜反射率分别为100%、98%，不计其它损耗，稳态功率输
出0.5mw，求腔内光子数。（设腔内只有?0一个模式，且腔内光束粗细均匀） 解： P?1TSI?1TS?h?c ??222P
TSh?c2PV2?0.5?10?3?0.1?6328?10?10???V???5.3?107个 ?34216TSh?c0.02?6.63?10?3?10（7）CO2激光器腔长l=1m，放电管直径d=10mm，单程衍射损耗率?d=0.5%，两镜面散射损耗率分别为1.5%，两镜透
过率分别为2%、10%，其它损耗不计。当它工作在室温(300K)条件下时，求 ①激发参数 ②碰撞线宽及多普勒线宽，并判断它属于哪种加宽类型（设放电管中气压为最佳气压） ③计算在最佳放电条件下稳定工作时，腔内的光强 ④若输出有效面积按放电管截面积的0.8计，此激光器的最大输出功率是多大？有关公式： Gm=1.4?10-2/d（1/mm）、
T12。 Is=72/d2(w/mm2)、p?d=2.67?104Pa?mm ??L=0.049p(MHz)、??D=7.16?10-7?0(M)解：①??0.005?0.015?1lnr1r2?0.005?0.015?0.5?ln(0.98?0.9)?0.083 2?2?20.0831.4?101.4?10G1.4?10?3?5Gt???8.3?101/mm Gm???1.4?10?31/mm ??m??16.9 ?5l1000d10Gt8.3?10?2.67?1042.67?104②p? MHz??2.67?103Pa ??L?0.049p?0.049?2.67?103?131d10 ??D?③Is?215T215??0M10.6?10?6300?53MHz ???L???D 属于均匀加宽 447272??0.72w/mm2 I?0?Is(??1)?0.72?15.9?11.45w/mm2 22d10④a?(0.005?0.015)?2?0.04 S??r2?3.14?52?62.8mm2
Pm?1SIs(2Gml?a)2?0.5?62.8?0.72?(2?1.4?10?3?103?0.04)2?49w 2（8）He-Ne激光器放电管气压p=270Pa，上、下能级寿命分别为?3=2?10-8s、?2=2?10-8s。求 ①T=300K时的多普勒线宽
??D ②计算均匀线宽??H ③计算烧孔宽度??=2??H时的腔内光强（Is=0.1W/mm2） 解：①??D?②??N?215T215??0M0.6328?10?612??3?300?1300MHz 201?8MHz ?82?3.14?2?10 ??L?0.75p?0.75?270?202.5MHz ??H???N???L?8?202.5?210.5MHz③ ???1?I???H 2??H?1?I???H 2?1?I? I??3Is?3?0.1?0.3w/mm2
IsIsIs（9）长10cm红宝石棒置于20cm的谐振腔内，已知其自发辐射寿命?21=4?10-3s，??H=2?105MHz，腔的单程损耗率?=0.01。
求 ①阈值反转粒子数密度?n t ②当光泵激励产生?n=1.2?n t时，有多少纵模可以起振？(n=1.76)
?20.69432?10?12?242 0解：①Gt???0.01?0.1m?1 S???4.9?10m21l0.14?2n2?2??F4?3.142?1.762?4?10?3?2?1011?nt?Gt0.1??2?10?22m?3 ?24S214.9?10?nt②??Gm??n?1.2 ??T???H??1?2?105?1.2?1?8.94?104MHz
Gtc3?108 ??543MHzL??L?(n?1)l?20?(1.76?1)?10?27.6cm ??q?2L?2?0.276?q?[??T89400?1]?[?1]?165 ??q543 习题五
?1?0?(1) 证明：两种介质（折射率分别为n1与n2）的平面界面对入射旁轴光线的变换矩阵为 T??n1?
??0??n2?证：由折射定律 n1sin?1?n2sin?2 近轴条件 n1?1?n2?2
r2?r1
?1n1 即 ??2??1T??0n2??0n1n2?? ???n1 n2 ?2 ?1 r1 ,r2 (2) 证明：两种介质（折射率分别为n1与n2）的球面界面对入射旁轴光线的变换矩阵为 T??n2?n1???n2R?10n1n2?2 ?? ???证： n1i1?n2i2
??i1??1 ??i2??2
??r1 Ri2 i1 ?1 ? r1,r2 ?2???i2?r2?r1
r1rnrnrnrn?n1n?i2?1?1i1?1?1(???1)?1?1(1??1)?2r1?1?1 RRn2Rn2Rn2Rn2Rn20n1n2?? ????1n2?n1n1 即 ??2?r1??1T??n2?n1n2Rn2?nR?2
AB?，并证明这两种情况下的1（3）分别按图(a)、(b)中的往返顺序，推导旁轴光线往返一周的光学变换矩阵?(A?D)?2?CD????相等。
① (b) ① (a) ② ②
③ ③ ④ 解： T?T4T3T2T④ 1L L (a) T??2???1?R10?1L?1??2???????1?01????R2?0?1L??AB? ???????CD??1??01??????