22．3 第1课时 二次函数与图形面积
01 教学目标
1．会求二次函数y＝ax＋bx＋c的最小(大)值．
2．能从实际问题中分析、找出变量之间的二次函数关系，并能利用二次函数及性质解决与面积有关的最小(大)值问题．
02 预习反馈
阅读教材P49～50(探究1)，完成下列问题．
b2
1．一般地，当a＞0时，抛物线y＝ax＋bx＋c的顶点是最低点，也就是说，当x＝－
2a4ac－b2
时，二次函数y＝ax＋bx＋c有最小值；当a＜0时，抛物线y＝ax＋bx＋c的顶点
4a2
2
2
b4ac－b2
是最高点，也就是说，当x＝－时，二次函数y＝ax＋bx＋c有最大值．
2a4a
2．从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h(单位：m)与小球的运动时间t(单位：s)之间的关系式是h＝30t－5t(0≤t≤6)，其图象如图所示．
2
2
(1)小球运动的时间是3s时，小球最高； (2)小球运动中的最大高度是45m.
3．一个直角三角形的两条直角边长的和为20 cm，其中一直角边长为x cm，面积为y cm，12
则y与x的函数的关系式是y＝x(20－x)，当x＝10时，面积y最大，为50cm.
2
03 新课讲授
例1 (教材P49探究)用总长为60 m的篱笆围成矩形场地，矩形面积S随矩形一边长l的变化而变化．当l是多少米时，场地的面积S最大？
【思路点拨】 先写出S关于l的函数解析式，再求出使S最大的l值．
60【解答】 ∵矩形场地的周长是60 m，一边长为l m，则另一边长为(－l)m，∴场地
2602
的面积S＝l(－l)＝－l＋30l(0＜l＜30)．
2
1
2
22
b304ac－b－30
∴当l＝－＝－＝15时，S有最大值＝＝225．
2a2×（－1）4a4×（－1）
答：当l是15 m时，场地的面积S最大．
【点拨】 在实际问题中，求函数的解析式时，一定要标注自变量的取值范围，同时在求函数的最值时，一定要注意顶点的横坐标是否在自变量的取值范围内．
【跟踪训练1】 (22.3第1课时习题)如图，假设篱笆(虚线部分)的长度为16 m，则所围成矩形ABCD的最大面积是(C)
A．60 m B．63 m C．64 m D．66 m
例2 (教材P49探究的变式)如图，用长为6 m的铝合金条制成一个“日”字形窗框，已知窗框的宽为x m，窗户的透光面积为y m(铝合金条的宽度不计)．
2
2222
(1)求出y与x的函数关系式；
【思路点拨】由题意可知，窗户的透光面积为长方形，根据长方形的面积公式即可得到
y和x的函数关系式．
【解答】 ∵大长方形的周长为6 m，宽为x m， 6－3x∴长为 m.
2
（6－3x）32
∴y＝x·＝－x＋3x(0＜x＜2)．
22
【点拨】 求y与x的函数关系式时，一定不能漏掉自变量的取值范围．
(2)如何安排窗框的长和宽，才能使得窗户的透光面积最大？并求出此时的最大面积． 【思路点拨】 由(1)中的函数关系可知，y和x是二次函数关系，根据二次函数的性
2
质即可得到最大面积．
【解答】 由(1)可知，y和x是二次函数关系． 3
∵a＝－＜0，∴函数有最大值．
2
3326－3x当x＝－＝1时，y最大＝ m，此时＝1.5.
322
2×（－）
2
答：窗框的长和宽分别为1.5 m和1 m时，才能使得窗户的透光面积最大，此时的最大面积为1.5 m.
【点拨】 要考虑x＝1是不是在自变量的取值范围内．
【跟踪训练2】 如图，点C是线段AB上的一点，AB＝1，分别以AC和CB为一边作正方形，用S表示这两个正方形的面积之和，下列判断正确的是(A)
2
A．当C是AB的中点时，S最小 B．当C是AB的中点时，S最大 C．当C为AB的三等分点时，S最小 D．当C是AB的三等分点时，S最大
04 巩固训练
1．为搞好环保，某公司准备修建一个长方体的污水处理池，池底矩形的周长为100 m，则池底的最大面积是(B)
A．600 m2 B．625 m2 C．650 m2 D．675
m2
2．如图，利用一面墙(墙的长度不超过45 m)，用80 m长的篱笆围成一个矩形场地，当AD＝20m时，矩形场地的面积最大，最大面积为800m.
2
3．(22.3第1课时习题)手工课上，小明准备做一个形状是菱形的风筝，这个菱形的两条对角线长度之和恰好为60 cm，菱形的面积S(单位：cm)随其中一条对角线的长x(单位：
3
2