【推荐】华东师大初中数学中考冲刺:几何综合问题--知识讲解(基础).doc

∴Rt△DCE中,CE+CD=DE,

222

∴BD+CD=DE;

(3)①(2)中的结论还成立.

理由:如图3,∵∠BAC=∠DAE=90°, ∴∠BAC+∠DAC=∠DAE+∠DAC, 即∠BAD=∠CAE, 在△ABD与△ACE中,

∴△ABD≌△ACE(SAS),

∴∠ABC=∠ACE=45°,BD=CE,

∴∠ABC+∠ACB=∠ACE+∠ACB=90°, ∴∠BCE=90°=∠ECD,

222

∴Rt△DCE中,CE+CD=DE,

222

∴BD+CD=DE;

②∵Rt△BCE中,BE=10,BC=6, ∴CE=102?62=8, ∴BD=CE=8, ∴CD=8﹣6=2,

∴Rt△DCE中,DE=22?82=68, ∵△ADE是等腰直角三角形, ∴AE=222

DE68??34. 22【总结升华】本题属于三角形综合题,主要考查了全等三角形的判定与性质,等边三角形的性质,等

腰直角三角形的性质以及勾股定理的综合应用. 举一反三:

【变式】△ABC是等边三角形,P为平面内的一个动点,BP=BA,若0?<∠PBC<180°,且∠PBC平分线上的一点D满足DB=DA,

(1)当BP与BA重合时(如图1),∠BPD= °; (2)当BP在∠ABC的内部时(如图2),求∠BPD的度数;

(3)当BP在∠ABC的外部时,请你直接写出∠BPD的度数,并画出相应的图形.

【答案】(1)∠BPD= 30°; (2)如图3,连结CD.

5

∵ 点D在∠PBC的平分线上, ∴ ∠1=∠2.

∵ △ABC是等边三角形, ∴ BA=BC=AC,∠ACB= 60°. ∵ BP=BA, ∴ BP=BC. ∵ BD= BD,

∴ △PBD≌△CBD. ∴ ∠BPD=∠3.

∵ DB=DA,BC=AC,CD=CD, ∴ △BCD≌△ACD. ∴ ?3??4??ACB?30?. ∴ ∠BPD =30°.

(3)∠BPD= 30°或 150°.

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类型二、几何计算型问题

【高清课堂:几何综合问题 例1 】

4.如图,直角三角形纸片ABC中,∠ACB=90°,AC=8,BC=6.折叠该纸片使点B与点C重合,折痕与AB、BC的交点分别为D、E. (1) DE的长为 ;

(2) 将折叠后的图形沿直线AE剪开,原纸片被剪成三块,其中最小一块的面积等于 .

【思路点拨】(1)由题意可得:DE是线段BC的垂直平分线,易证DE∥AC,即DE是△ABC的中位线,即可求得DE的长; (2)由DE∥AC,DE=1AC,易证△AOC∽△EOD,根据相似三角形的对应边成比例,即可求得OA:OE=2,2 6

然后求得△ACE的面积,利用等高三角形的面积比等于对应底的比,即可求得答案. 【答案与解析】

(1)根据题意得:DE⊥BC,CE=BE, ∵∠ACB=90°, 即AC⊥BC, ∴DE∥AC, ∴AD=BD, 11AC=×8=4; 221(2)∵DE∥AC,DE=AC, 2∴DE=∴△AOC∽△EOD, ∴OA:OE=AC:DE=2, ∵CE=11BC=×6=3, 22∵∠ACB=90°,AC=8, 11CE?AC=×3×8=12, 221∴S△OCE=S△ACE=4, 3∴S△ACE=∴S△ADE+S△ODE=S△ABC-4-12=8, ∴其中最小一块的面积等于4. 【总结升华】考查了折叠的性质、直角三角形的性质、三角形中位线的性质以及相似三角形的判定与性质.此题难度适中,注意数形结合思想的应用,注意掌握折叠前后图形的对应关系,是一道典型的几何综合题. 举一反三

【变式】在边长为2的菱形ABCD中,∠B=45°,AE为BC边上的高,将△ABE沿AE所在直线翻折得△AB′E,那么△AB′E与四边形AECD重叠部分的面积是 . 【答案】在Rt△ABE中,∵∠B=45°,AB=2, ∴AE=BE=2 ,∴S△ABE=1.

由翻折的性质可知:△AB′E≌△ABE,∴EB′=EB=2 ∴B′C=BB′-BC=22-2, ∵四边形ABCD是菱形,∴CF∥BA.

∴∠ B′FC=∠B′AB=90°, ∠B′CF=∠B=45° ∴CF=

21B'C=2-2 ∴S△B'FC =CF2=3-22 22,∴S阴=S△AB′-S△B′=22-2. EFC

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5.如图,在等腰梯形ABCD中,AB∥DC,∠A=45°,AB=10 cm,CD=4 cm,等腰直角△PMN的斜边MN=10 cm, A点与N点重合, MN和AB在一条直线上,设等腰梯形ABCD不动,等腰直角△PMN沿AB所在直线以1 cm/s的速度向右移动,直到点N与点B重合为止.

(1)等腰直角△PMN在整个移动过程中与等腰梯形ABCD重叠部分的形状由________形变化为________形;

2

(2)设当等腰直角△PMN移动x (s)时,等腰直角△PMN与等腰梯形ABCD重叠部分的面积为y(cm),求y与x之间的函数关系式;

(3)当x=4 (s)时,求等腰直角△PMN与等腰梯形ABCD重叠部分的面积.

【思路点拨】(1)根据已知求出∠PNM=∠DAB=45°,求出∠AEN,根据等腰直角三角形的判定判断即可;推出∠DAB=∠PNM=45°,根据等腰梯形的判定判断即可; (2)可分为以下两种情况:

①当0<x≤6时,重叠部分的形状为等腰直角△EAN,AN=x(cm),过点E作EH⊥AB于点H,则EH平分AN,求出EH,根据三角形的面积公式求出即可;②当6<x≤10时,重叠部分的形状是等腰梯形ANED,求出AN=x(cm),CE=BN=10-x,DE=x-6,过点D作DF⊥AB于F,过点C作CG⊥AB于G,求出DF,代入梯形面积公式求出即可. 【答案与解析】

(1)等腰直角三角形;等腰梯形.

(2)等腰直角△PMN在整个移动过程中与等腰梯形ABCD重合部分图形的形状可分为以下两种情况:

①当0<x≤6时,重叠部分的形状为等腰直角△EAN(如图①).此时AN=x(cm),过点E作EH⊥AB于点H,则EH平分AN, ∴EH=

AN=

x, ∴y=S△ANE=

AN·EH=

x=

.

②当6<x≤10时,重叠部分的形状是等腰梯形ANED(如图②). 此时,AN=x(cm),∵∠PNM=∠B=45°,∴EN∥BC, ∵CE∥BN,∴四边形ENBC是平行四边形, CE=BN=10-x,DE=4-(10-x)=x-6,

过点D作DF⊥AB于F,过点C作CG⊥AB于G,

(10-4)=3,

(x-6+x)×3=3x-9.

则AF=BG,DF=AF= ∴y=S梯形ANED=

(DE+AN)·DF=

综上,.

(3)当等腰直角△PMN运动到PN边经过点D时,移动时间为6(s), ∴当x=4 (s)时,y=

x2=

×42=4.

∴当x=4 (s)时,等腰直角△PMN与等腰梯形ABCD重叠部分的面积是4cm2.

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