(完整版)小学数学30种典型应用题分类讲解附带例题和解题过程

例4 甲对乙说:“当我的岁数曾经是你现在的岁数时,你才4岁”。乙对甲说:“当我的岁数将来是你现在的岁数时,你将61岁”。求甲乙现在的岁数各是多少?(可用方程解) 解这里涉及到三个年份:过去某一年、今年、将来某一年。列表分析:

甲 乙 过去某一年 □岁 4岁 今 年 △岁 □岁 将来某一年 61岁 △岁 表中两个“□”表示同一个数,两个“△”表示同一个数。

因为两个人的年龄差总相等:□-4=△-□=61-△,也就是4,□,△,61成等差数列,所以,61应该比4大3个年龄差,

因此二人年龄差为 (61-4)÷3=19(岁) 甲今年的岁数为 △=61-19=42(岁) 乙今年的岁数为 □=42-19=23(岁)

答:甲今年的岁数是42岁,乙今年的岁数是23岁。

11 行船问题

【含义】 行船问题也就是与航行有关的问题。解答这类问题要弄清船速与水速,船速是船只本身航行的速度,也就是船只在静水中航行的速度;水速是水流的速度,船只顺水航行的速度是船速与水速之和;船只逆水航行的速度是船速与水速之差。

【数量关系】 (顺水速度+逆水速度)÷2=船速 (顺水速度-逆水速度)÷2=水速 顺水速=船速+水速=逆水速+水速×2 逆水速=船速-水速=顺水速-水速×2

【解题思路和方法】 大多数情况可以直接利用数量关系的公式。

例1 一只船顺水行320千米需用8小时,水流速度为每小时15千米,这只船逆水行这段路程需用几小时? 解 由条件知,顺水速=船速+水速=320÷8,而水速为每小时15千米, 所以,船速为每小时 320÷8-15=25(千米) 船的逆水速为 25-15=10(千米)

船逆水行这段路程的时间为 320÷10=32(小时) 答:这只船逆水行这段路程需用32小时。

例2 甲船逆水行360千米需18小时,返回原地需10小时;乙船逆水行同样一段距离需15小时,返回原地需多少时间?

解由题意得 甲船速+水速=360÷10=36

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甲船速-水速=360÷18=20 可见 (36-20)相当于水速的2倍,

所以, 水速为每小时 (36-20)÷2=8(千米) 又因为, 乙船速-水速=360÷15, 所以, 乙船速为 360÷15+8=32(千米) 乙船顺水速为 32+8=40(千米)

所以, 乙船顺水航行360千米需要 360÷40=9(小时) 答:乙船返回原地需要9小时。

例3 一架飞机飞行在两个城市之间,飞机的速度是每小时576千米,风速为每小时24千米,飞机逆风飞行3小时到达,顺风飞回需要几小时? 解 这道题可以按照流水问题来解答。

(1)两城相距多少千米? (576-24)×3=1656(千米) (2)顺风飞回需要多少小时? 1656÷(576+24)=2.76(小时)

列成综合算式 [(576-24)×3]÷(576+24)=2.76(小时) 答:飞机顺风飞回需要2.76小时。

12 列车问题

【含义】 这是与列车行驶有关的一些问题,解答时要注意列车车身的长度。 【数量关系】 火车过桥:过桥时间=(车长+桥长)÷车速

火车追及:追及时间=(甲车长+乙车长+距离)÷(甲车速-乙车速) 火车相遇:相遇时间=(甲车长+乙车长+距离)÷(甲车速+乙车速) 【解题思路和方法】 大多数情况可以直接利用数量关系的公式。

例1 一座大桥长2400米,一列火车以每分钟900米的速度通过大桥,从车头开上桥到车尾离开桥共需要3分钟。这列火车长多少米?

解 火车3分钟所行的路程,就是桥长与火车车身长度的和。 (1)火车3分钟行多少米? 900×3=2700(米) (2)这列火车长多少米? 2700-2400=300(米) 列成综合算式 900×3-2400=300(米) 答:这列火车长300米。

例2 一列长200米的火车以每秒8米的速度通过一座大桥,用了2分5秒钟时间,求大桥的长度是多少米? 解 火车过桥所用的时间是2分5秒=125秒,所走的路程是(8×125)米,这段路程就是(200米+桥长),所以,桥长为

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8×125-200=800(米) 答:大桥的长度是800米。

例3 一列长225米的慢车以每秒17米的速度行驶,一列长140米的快车以每秒22米的速度在后面追赶,求快车从追上到追过慢车需要多长时间?

解 从追上到追过,快车比慢车要多行(225+140)米,而快车比慢车每秒多行(22-17)米,因此,所求的时间为

(225+140)÷(22-17)=73(秒) 答:需要73秒。

例4 一列长150米的列车以每秒22米的速度行驶,有一个扳道工人以每秒3米的速度迎面走来,那么,火车从工人身旁驶过需要多少时间?

解 如果把人看作一列长度为零的火车,原题就相当于火车相遇问题。 150÷(22+3)=6(秒)

答:火车从工人身旁驶过需要6秒钟。

例5 一列火车穿越一条长2000米的隧道用了88秒,以同样的速度通过一条长1250米的大桥用了58秒。求这列火车的车速和车身长度各是多少?

解 车速和车长都没有变,但通过隧道和大桥所用的时间不同,是因为隧道比大桥长。可知火车在(88-58)秒的时间内行驶了(2000-1250)米的路程,因此,火车的车速为每秒 (2000-1250)÷(88-58)=25(米) 进而可知,车长和桥长的和为(25×58)米, 因此,车长为 25×58-1250=200(米)

答:这列火车的车速是每秒25米,车身长200米。

13 时钟问题

【含义】 就是研究钟面上时针与分针关系的问题,如两针重合、两针垂直、两针成一线、两针夹角为60度等。时钟问题可与追及问题相类比。 【数量关系】 分针的速度是时针的12倍, 二者的速度差为11/12。

通常按追及问题来对待,也可以按差倍问题来计算。 【解题思路和方法】 变通为“追及问题”后可以直接利用公式。 例1 从时针指向4点开始,再经过多少分钟时针正好与分针重合?

解 钟面的一周分为60格,分针每分钟走一格,每小时走60格;时针每小时走5格,每分钟走5/60=1/12

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格。每分钟分针比时针多走(1-1/12)=11/12格。4点整,时针在前,分针在后,两针相距20格。所以 分针追上时针的时间为 20÷(1-1/12)≈ 22(分) 答:再经过22分钟时针正好与分针重合。

例2 四点和五点之间,时针和分针在什么时候成直角?

解 钟面上有60格,它的1/4是15格,因而两针成直角的时候相差15格(包括分针在时针的前或后15格两种情况)。四点整的时候,分针在时针后(5×4)格,如果分针在时针后与它成直角,那么分针就要比时针多走 (5×4-15)格,如果分针在时针前与它成直角,那么分针就要比时针多走(5×4+15)格。再根据1分钟分针比时针多走(1-1/12)格就可以求出二针成直角的时间。 (5×4-15)÷(1-1/12)≈ 6(分) (5×4+15)÷(1-1/12)≈ 38(分) 答:4点06分及4点38分时两针成直角。

例3 六点与七点之间什么时候时针与分针重合?

解 六点整的时候,分针在时针后(5×6)格,分针要与时针重合,就得追上时针。这实际上是一个追及问题。

(5×6)÷(1-1/12)≈ 33(分) 答:6点33分的时候分针与时针重合。

14 盈亏问题

【含义】 根据一定的人数,分配一定的物品,在两次分配中,一次有余(盈),一次不足(亏),或两次都有余,或两次都不足,求人数或物品数,这类应用题叫做盈亏问题。 【数量关系】 一般地说,在两次分配中,如果一次盈,一次亏,则有: 参加分配总人数=(盈+亏)÷分配差 如果两次都盈或都亏,则有:

参加分配总人数=(大盈-小盈)÷分配差 参加分配总人数=(大亏-小亏)÷分配差

【解题思路和方法】 大多数情况可以直接利用数量关系的公式。

例1 给幼儿园小朋友分苹果,若每人分3个就余11个;若每人分4个就少1个。问有多少小朋友?有多少个苹果?

解 按照“参加分配的总人数=(盈+亏)÷分配差”的数量关系: (1)有小朋友多少人? (11+1)÷(4-3)=12(人) (2)有多少个苹果? 3×12+11=47(个) 答:有小朋友12人,有47个苹果。

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例2 修一条公路,如果每天修260米,修完全长就得延长8天;如果每天修300米,修完全长仍得延长4天。这条路全长多少米?

解 题中原定完成任务的天数,就相当于“参加分配的总人数”,按照“参加分配的总人数=(大亏-小亏)÷分配差”的数量关系,可以得知 原定完成任务的天数为

(260×8-300×4)÷(300-260)=22(天) 这条路全长为 300×(22+4)=7800(米) 答:这条路全长7800米。

例3 学校组织春游,如果每辆车坐40人,就余下30人;如果每辆车坐45人,就刚好坐完。问有多少车?多少人?

解 本题中的车辆数就相当于“参加分配的总人数”,于是就有 (1)有多少车? (30-0)÷(45-40)=6(辆) (2)有多少人? 40×6+30=270(人) 答:有6 辆车,有270人。

15 工程问题

【含义】 工程问题主要研究工作量、工作效率和工作时间三者之间的关系。这类问题在已知条件中,常常不给出工作量的具体数量,只提出“一项工程”、“一块土地”、“一条水渠”、“一件工作”等,在解题时,常常用单位“1”表示工作总量。

【数量关系】 解答工程问题的关键是把工作总量看作“1”,这样,工作效率就是工作时间的倒数(它表示单位时间内完成工作总量的几分之几),进而就可以根据工作量、工作效率、工作时间三者之间的关系列出算式。

工作量=工作效率×工作时间 工作时间=工作量÷工作效率

工作时间=总工作量÷(甲工作效率+乙工作效率) 【解题思路和方法】 变通后可以利用上述数量关系的公式。

例1 一项工程,甲队单独做需要10天完成,乙队单独做需要15天完成,现在两队合作,需要几天完成? 解 题中的“一项工程”是工作总量,由于没有给出这项工程的具体数量,因此,把此项工程看作单位“1”。由于甲队独做需10天完成,那么每天完成这项工程的1/10;乙队单独做需15天完成,每天完成这项工程的1/15;两队合做,每天可以完成这项工程的(1/10+1/15)。 由此可以列出算式: 1÷(1/10+1/15)=1÷1/6=6(天) 答:两队合做需要6天完成。

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