研究生“矩阵论”课程课外作业
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矩阵论在人口迁移问题中的应用
摘要
本文根据矩阵论的理论解决实际中的人口迁移问题，做出简单的分析和概括。文中运用方阵函数
使得实际问题得f(A)的相关基本理论来解决这一实际问题，
到简化解决，最终得出人口迁移问题的最终结论。
1、待解决问题内容：
假设有两个地区—如北方和南方，之间发生人口迁移，每一年北方50%的人口迁移到南方，同时有25%的南方人口迁移到北方，直观上可由下图表示：
0.5 0.5 N 0.25 S 0.75
问题：这个移民过程持续下去，北方的人会不会全部搬到南方？如果会请说明理由；如果不会，那北方的人最终人口分布会怎样？
2、基本术语解释
方阵函数
f(A)：最简单的方阵函数是矩阵多项式
B?f(A)?a0E?a1A???anAn，其中A?Cn?n,ai?C。一般运用
复变幂级数的和函数定义方阵幂级数和函数—方阵函数。
3、基本理论阐述：
1、Hamilton-Cayley定理： 设矩阵A的特征多项式为设A的特征多项式为：
f(?)，则有f(A)?0。
f?????n?an?1?n?1???a1??a0
Hamilton-Cayley定理表明：
f?A??An?an?1An?1???a1A?a0E?0，即方阵函数可以由
An,An?1,?,A,E的线性组合表示。
方阵函数是多项式
f?A??a0E?a1A??，其中A?Cn?n,ai?C。
2、最小多项式的相关理论：
定义1：A是n阶方阵，则称
f???是方阵A的特征多项式。如果有f?A??0，
f???是方阵A的零化多项式。由Hamilton-Cayley定理知一个矩阵的零化
多项式一定存在。
定义2：在n阶方阵A的所有零化多项式中，次数最低的首一多项式，称为A的最小多项式。
设A?C其中t1?t2n?n的最小多项式为m(?)?(???1)1(???2)2?(???s)s
ttt???ts?t，?i??j(i?j,i,j?1,2,?,s)，而方阵函数f?A?是
kaA?k的和函数，即 k?0??收敛的方阵幂级数
f(A)??akAk
k?0设T(?)?b0?b1????bt?1?t?1，使
(l)f(l)??i?1,2,?,s?k(?i)?T(?i) ?T(A)?f(A)?aA，则 ?k?k?0?l?0,1,?,ti?1?3、运用
f(z)在A上的谱值计算方阵函数f(A)的理论：
ttt设n阶方阵A的最小多项式为m(?)?(???1)1(???2)2?(???s)s，其中?,?2,?,?s是A的互不相同的特征根。如果复函数
f(z)及其各阶导数
f(l)(z)在z??i(i?1,2,?,s)处的导数值，即
f(l)dlf(z)(?i)?z??ildz?i?1,2,?,s??l?0,1,?,t?1?
i??均为有限值，便称函数的谱值。
f(z)在方阵A的谱上给定，并称这些值为f(z)在A上
4、报告正文
根据所给条件，设南方和北方第一年的人口数量分别为s和n，第n年人口数量分别为xn和yn。根据题意可以列出下式：