2.1.试叙述多元联合分布和边际分布之间的关系。
解：多元联合分布讨论多个随机变量联合到一起的概率分布状况，度函数是一个p维的函数，而边际分布讨论是函数的维数小于p。 2.2设二维随机向量(X1X?(X1,X2,LXp)?的联合分布密
X?(X1,X2,LXp)?的子向量的概率分布，其概率密度
X2)?服从二元正态分布，写出其联合分布。
2???12?1?2??，协方差矩阵为?，则其联合分布密2???21?2?解：设(X1度函数为
X2)?的均值向量为μ???12?1???1?12?f(x)????2??2????21?2?2?1/2?12?????1?12?1?exp??(x?μ)??(x?μ)?。 2?2???212?????2.3已知随机向量(X1X2)?的联合密度函数为
f(x1,x2)?其中a2[(d?c)(x1?a)?(b?a)(x2?c)?2(x1?a)(x2?c)]
(b?a)2(d?c)2?x1?b，c?x2?d。求
（1）随机变量（2）随机变量（3）判断
X1和X2的边缘密度函数、均值和方差； X1和X2的协方差和相关系数；
X1和X2是否相互独立。
X1和X2的边缘密度函数、均值和方差；
（1）解：随机变量
dfx1(x1)??c2[(d?c)(x1?a)?(b?a)(x2?c)?2(x1?a)(x2?c)]dx
(b?a)2(d?c)2d
d2[(b?a)(x?c)?2(x?a)(x?c)]2(d?c)(x1?a)x2212???dx2 2222(b?a)(d?c)cc(b?a)(d?c)d?c2[(b?a)t?2(x?a)t]2(d?c)(x1?a)x21?dt 2222?0(b?a)(d?c)c(b?a)(d?c)dd?cd?2(d?c)(x1?a)x2[(b?a)t2?2(x1?a)t2]??(b?a)2(d?c)2c(b?a)2(d?c)20?1 b?a2?b?a?b?a所以 由于X1服从均匀分布，则均值为，方差为
212精选
。
同理，由于
X2服从均匀分布
?1?fx2(x2)??d?c??0x1??c,d?其它，则均值为
d?c，方差2?d?c?为
122。
（2）解：随机变量
X1和X2的协方差和相关系数；
cov(x1,x2)??
dca?b??d?c?2[(d?c)(x1?a)?(b?a)(x2?c)?2(x1?a)(x2?c)]?x?x?dx1dx21??2?22?a?22(b?a)(d?c)????b?(c?d)(b?a)
36??cov(x1,x2)?x?x1?21 3（3）解：判断
X1和X2是否相互独立。
X1和X2由于f(x1,x2)?fx1(x1)fx2(x2)，所以不独立。
2.4设
X?(X1,X2,LXp)?服从正态分布，已知其协方差矩阵?为对角阵，证明其分量是相互独立的随
机变量。
解： 因为
X?(X1,X2,LXp)?的密度函数为
p?1??1/2?1??1?f(x1,...,xp)??Σexp?(x?μ)Σ(x?μ)?? ??2??2????12?2?2?又由于Σ??O???22 Σ??12?2L?p??? ??2??p?精选
?1??2?1??Σ?1???????12?2O?????? 则f(x1,...,xp) ??1?2??p???1???2??1??p?1/2?1?1??222?1???Σ???L?exp?(x?μ)Σ??12p??2?2????????????
12?2O??????????(x?μ)??????1??2???p??p222??11(xp??p)??1??1(x1??1)1(x2??3)?????L?exp???...????? 12p?2222?2?2?2?????12p???(xi??i)2?1??exp????f(x1)...f(xp) 则其分量是相互独立。 22?i?i?1?i2??p2.6 渐近无偏性、有效性和一致性； 2.7 设总体服从正态分布，X~Np(μ,Σ)，有样本X1,X2,...,Xn。由于X是相互独立的正态分布随
机向量之和，所以X也服从正态分布。又
n?n?nE(X)?E??Xin???E?Xi?n??μn?μi?1?i?1?i?11nΣ?n?1nD(X)?D??Xin??2?D?Xi??2?Σ? 所以X~Np(μ,Σ)。
ni?1n?i?1?ni?12.8 方法1：
nn11???ΣXiX??(Xi?X)(Xi?X)??n?1?i?nXX n?1i?1i?1n11?n?????E(Σ)?E(?XiX??nXX)?EXX?nEXX????i?ii? n?1i?1n?1??i?1?
1?nΣ?1?Σ?n?(n?1)Σ?Σ。 ???n?1?i?1n?n?1精选