设已给幂级数在数轴上既有收敛点（不仅是原点）也有发散点．现在从原点沿数轴向右方走，最初只遇到收敛点，然后就只遇到发散点，这两部分的分界点可能是收敛点也可能是发散点；从原点沿数轴向左方走的情形也是如此．两个分界点p与p,在原点的两侧，且由定理1可以证明它们到原点的距离是一样的（如图）
从上面的几何说明，我们就得到重要的推论：
推论 如果幂级数（4）不是仅在x?0一点收敛，也不是在整个数轴上都收敛，则必有一个确定的正数R存在，使得
（1） 当x?R时，幂级数绝对收敛； （2） 当x?R时，幂级数发散；
（3） 当x?R与x??R时，幂级数可能收敛也可能发散．
正数R通常叫幂级数（4）的收敛半径．开区间??R,R?叫做幂级数（4）的收敛
区间．再由幂级数在x??R处的收敛性就可以决定它的收敛域是??R,R?、
??R,R?、??R,R?或??R,R?这四个区间之一．
如果幂级数（4）只在x?0处收敛，这时收敛域只有一点x?0，但为了方便起见，我们规定这时收敛半径R?0；如果幂级数（4）对一切x收敛，则规定收敛半径R???，这时收敛域是???,???这两种情形确实都是存在的，见下面的例2、例3．
3 幂级数的收敛半径的求法
关于幂级数的收敛半径的求法，有下面的定理： 定理2 如果 limn??an?1?? an? 其中an、an?1是幂级数?anxn的相邻两项的系数，则这幂级数的收敛半径
n?1??0,????? R????,??0
?1,??0???x2x3xn??...??... 的收敛半径和收敛区间． ［例1］ 求幂级数1?x?23n
解 因为
an?1an1n?limn?1?lim?1 n??n??n?11n ??limn?? 所以收敛半径为R=
1?=1
对于端点x?1，这时级数除去第一项就成为调和级数
111 1???..?.? ...23n1 级数?发散．
n?1n? 对于端点x??1，这时级数除去第一项就成为交错级数
11n1 ?1???..?.???1? ...23n 级数???1?n?1?n1 收敛，故幂级数的收敛域是??1,1? n121x?...?xn?... 的收敛域 2!n!［例2］求幂级数 1?x?解 因为
an?1an??limn??1?n?1?!1?lim?lim?0 n??n??n?11n!所以收敛半径R=+∞，从而收敛域是???,???
［例3］求幂级数?n!xn的收敛半径（规定0！=1）
n?1?解 因为
??limn??an?1?n?1?!=lim??? n??ann!所以收敛半径R=0，即级数仅在x?0处收敛．
［例4］求幂级数?n?1??x?1?nn2?n的收敛半径
解 令t=x?1，则上述级数变为
tn ?n
2?nn?1?an?12n?n1因为 ??lim=limn?1?
n??an??2??n?1?2n所以收敛半径R=2，收敛区间为t?2，即?1?t?3
1 当x?3时，级数成为调和级数?，这级数发散；当x??1时，级数成为交
n?1n?错级数?n?1???1?nn，这级数收敛．因此原级数的收敛域为??1,3?．
三 幂级数的运算
幂级数在收敛区间内表示一个函数，下面我们介绍用幂级数表示的函数在收敛区间内如何进行运算．
设有两幂级数
?axnn?0??n2?a0?a1x?ax.anxn?. ..2?..?
?bxnn?0n2?b0?b1x?bx.bnxn?. ..2?..?和函数分别为s1?x?、s2?x?，收敛半径分别为R1、R2，记R?min?R1,R2?，则在??R,?R?内有如何进行运算： 1加（或减）法运算
?axnn?0?n ??bnx=
nn?0???an?0?n?bn?xn= s1?x??s2?x?
这就是说，两收敛的幂级数，至少在??R,?R?中可以求和（或差），其和（或差）也是幂级数，其系数为原幂级数的系数的和（或差），其和函数为原两幂级数的
和函数的和（或差）．
2 乘法运算
?axnn?0?n×
?bxnn?0?n=
?a0?a1x?a2x2?...?anxn?...??b0?b1x?b2x2?...?bnxn?...?
=?a0?b0?+?a0b1?a1b0?x+?a0b2?a1b1?a2b0?x2+?
+?aibn?ixn
i?0n +?．
因而，在区间??R,?R?中，两收敛的幂级数的乘积也是一个幂级数，其xn的系数由n?1项形如aibj?i?j?n?之和构成．
除了上述四则运算外，关于幂级数的和函数有下列重要性质： 3 和函数的连续性 设幂级数
?axnn?0?n2?a0?a1x?ax.anxn?. . .2?..?收敛于和s?x?且其收敛半径为R，则在收敛区间??R,?R?内，其和函数s?x?是连续函数．
4微分运算
设?anxn=s?x?，收敛半径为R，则对在??R,?R?内任意一点x，有
n?0????n???anx?= ?n?0???anx??=?nanxn?1=s??x? x∈??R,?R?
nn?0n?0??这就是说，收敛幂级数可以逐项微分，得到的仍是幂级数，且其收敛半径不变，其和函数为原级数的和函数的导数．
5 积分运算
设?anxn=s?x?，收敛半径为R，则对在??R,?R?内任意一点x，有
n?0???n? ???anxx?d= 0?n?0?x??n?0?xoanxdx=
nann?1x= ?n?0n?1??s?t?dt
0x这就是说，收敛幂级数可以逐项积分，得到的仍是幂级数，且其收敛半径不变，
其和函数为原级数的和函数在相应区间上的积分．
xn［例5］求幂级数?的和函数
n?1n?0?解 先求收敛半径．由
??lim得收敛半径R=1．
n??an?1n?1?1 =limn??n?2an 在端点x??1处，幂级数成为?n?0???1?nn?1是收敛的交错级数；在端点x?1处，
幂级数成为?1是发散的调和级数．因此收敛域为??1,1?．
n?0n?1? 设和函数为s?x?，即
xn s?x?=? x∈??1,1?
n?1n?0?xn?1于是 xs?x ?=?n?0n?1?由幂级数的逐项可导性得
??xn?1???n1? ? x＜1 xsx??x????????n?1??1?xn?0??n?0对上式从0到x积分得
x1 xs?x=??01?tdt=?ln?1?x? x＜1
1于是，当x?0时，有s?x?=?ln?1?x?
x而s?0?可由s?0?=a0=1得出，也可以由和函数的连续性得到
?1? s?0?=lims?x??lim??ln?1?x???1
x?0x?0?x??1?x?x,???1?,?0???ln?1故 s?x???x??1,x?0? 0,1
一 泰勒级数
前面讨论了幂级数的收敛域及其和函数的性质．但在许多应用中，我们遇到的却是相反的问题：给定函数f?x?，要考虑它是否能在某个区间内“展开成幂级数”，也就是说，是否能找到这样一个幂级数，它在某区间内收敛，且其和恰好就是给定的函数f?x?，如果能找到这样的幂级数，我们就说，函数在该区间内能展开成幂级数，而这个幂级数在该区间内就表达了函数f?x?．
1 泰勒公式
如果f?x?在点x0的某邻域内有直到n?1的导数．则对此另邻域内任一x有