经济数学第五章级数与拉普拉斯变换

设已给幂级数在数轴上既有收敛点(不仅是原点)也有发散点.现在从原点沿数轴向右方走,最初只遇到收敛点,然后就只遇到发散点,这两部分的分界点可能是收敛点也可能是发散点;从原点沿数轴向左方走的情形也是如此.两个分界点p与p,在原点的两侧,且由定理1可以证明它们到原点的距离是一样的(如图)

从上面的几何说明,我们就得到重要的推论:

推论 如果幂级数(4)不是仅在x?0一点收敛,也不是在整个数轴上都收敛,则必有一个确定的正数R存在,使得

(1) 当x?R时,幂级数绝对收敛; (2) 当x?R时,幂级数发散;

(3) 当x?R与x??R时,幂级数可能收敛也可能发散.

正数R通常叫幂级数(4)的收敛半径.开区间??R,R?叫做幂级数(4)的收敛

区间.再由幂级数在x??R处的收敛性就可以决定它的收敛域是??R,R?、

??R,R?、??R,R?或??R,R?这四个区间之一.

如果幂级数(4)只在x?0处收敛,这时收敛域只有一点x?0,但为了方便起见,我们规定这时收敛半径R?0;如果幂级数(4)对一切x收敛,则规定收敛半径R???,这时收敛域是???,???这两种情形确实都是存在的,见下面的例2、例3.

3 幂级数的收敛半径的求法

关于幂级数的收敛半径的求法,有下面的定理: 定理2 如果 limn??an?1?? an? 其中an、an?1是幂级数?anxn的相邻两项的系数,则这幂级数的收敛半径

n?1??0,????? R????,??0

?1,??0???x2x3xn??...??... 的收敛半径和收敛区间. [例1] 求幂级数1?x?23n

解 因为

an?1an1n?limn?1?lim?1 n??n??n?11n ??limn?? 所以收敛半径为R=

1?=1

对于端点x?1,这时级数除去第一项就成为调和级数

111 1???..?.? ...23n1 级数?发散.

n?1n? 对于端点x??1,这时级数除去第一项就成为交错级数

11n1 ?1???..?.???1? ...23n 级数???1?n?1?n1 收敛,故幂级数的收敛域是??1,1? n121x?...?xn?... 的收敛域 2!n![例2]求幂级数 1?x?解 因为

an?1an??limn??1?n?1?!1?lim?lim?0 n??n??n?11n!所以收敛半径R=+∞,从而收敛域是???,???

[例3]求幂级数?n!xn的收敛半径(规定0!=1)

n?1?解 因为

??limn??an?1?n?1?!=lim??? n??ann!所以收敛半径R=0,即级数仅在x?0处收敛.

[例4]求幂级数?n?1??x?1?nn2?n的收敛半径

解 令t=x?1,则上述级数变为

tn ?n

2?nn?1?an?12n?n1因为 ??lim=limn?1?

n??an??2??n?1?2n所以收敛半径R=2,收敛区间为t?2,即?1?t?3

1 当x?3时,级数成为调和级数?,这级数发散;当x??1时,级数成为交

n?1n?错级数?n?1???1?nn,这级数收敛.因此原级数的收敛域为??1,3?.

三 幂级数的运算

幂级数在收敛区间内表示一个函数,下面我们介绍用幂级数表示的函数在收敛区间内如何进行运算.

设有两幂级数

?axnn?0??n2?a0?a1x?ax.anxn?. ..2?..?

?bxnn?0n2?b0?b1x?bx.bnxn?. ..2?..?和函数分别为s1?x?、s2?x?,收敛半径分别为R1、R2,记R?min?R1,R2?,则在??R,?R?内有如何进行运算: 1加(或减)法运算

?axnn?0?n ??bnx=

nn?0???an?0?n?bn?xn= s1?x??s2?x?

这就是说,两收敛的幂级数,至少在??R,?R?中可以求和(或差),其和(或差)也是幂级数,其系数为原幂级数的系数的和(或差),其和函数为原两幂级数的

和函数的和(或差).

2 乘法运算

?axnn?0?n×

?bxnn?0?n=

?a0?a1x?a2x2?...?anxn?...??b0?b1x?b2x2?...?bnxn?...?

=?a0?b0?+?a0b1?a1b0?x+?a0b2?a1b1?a2b0?x2+?

+?aibn?ixn

i?0n +?.

因而,在区间??R,?R?中,两收敛的幂级数的乘积也是一个幂级数,其xn的系数由n?1项形如aibj?i?j?n?之和构成.

除了上述四则运算外,关于幂级数的和函数有下列重要性质: 3 和函数的连续性 设幂级数

?axnn?0?n2?a0?a1x?ax.anxn?. . .2?..?收敛于和s?x?且其收敛半径为R,则在收敛区间??R,?R?内,其和函数s?x?是连续函数.

4微分运算

设?anxn=s?x?,收敛半径为R,则对在??R,?R?内任意一点x,有

n?0????n???anx?= ?n?0???anx??=?nanxn?1=s??x? x∈??R,?R?

nn?0n?0??这就是说,收敛幂级数可以逐项微分,得到的仍是幂级数,且其收敛半径不变,其和函数为原级数的和函数的导数.

5 积分运算

设?anxn=s?x?,收敛半径为R,则对在??R,?R?内任意一点x,有

n?0???n? ???anxx?d= 0?n?0?x??n?0?xoanxdx=

nann?1x= ?n?0n?1??s?t?dt

0x这就是说,收敛幂级数可以逐项积分,得到的仍是幂级数,且其收敛半径不变,

其和函数为原级数的和函数在相应区间上的积分.

xn[例5]求幂级数?的和函数

n?1n?0?解 先求收敛半径.由

??lim得收敛半径R=1.

n??an?1n?1?1 =limn??n?2an 在端点x??1处,幂级数成为?n?0???1?nn?1是收敛的交错级数;在端点x?1处,

幂级数成为?1是发散的调和级数.因此收敛域为??1,1?.

n?0n?1? 设和函数为s?x?,即

xn s?x?=? x∈??1,1?

n?1n?0?xn?1于是 xs?x ?=?n?0n?1?由幂级数的逐项可导性得

??xn?1???n1? ? x<1 xsx??x????????n?1??1?xn?0??n?0对上式从0到x积分得

x1 xs?x=??01?tdt=?ln?1?x? x<1

1于是,当x?0时,有s?x?=?ln?1?x?

x而s?0?可由s?0?=a0=1得出,也可以由和函数的连续性得到

?1? s?0?=lims?x??lim??ln?1?x???1

x?0x?0?x??1?x?x,???1?,?0???ln?1故 s?x???x??1,x?0? 0,1

一 泰勒级数

前面讨论了幂级数的收敛域及其和函数的性质.但在许多应用中,我们遇到的却是相反的问题:给定函数f?x?,要考虑它是否能在某个区间内“展开成幂级数”,也就是说,是否能找到这样一个幂级数,它在某区间内收敛,且其和恰好就是给定的函数f?x?,如果能找到这样的幂级数,我们就说,函数在该区间内能展开成幂级数,而这个幂级数在该区间内就表达了函数f?x?.

1 泰勒公式

如果f?x?在点x0的某邻域内有直到n?1的导数.则对此另邻域内任一x有

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