=0 （n=0，1，2，?）；
1?bn??f?x?sinnxdx
???101? =???1?sinnxdx??1?sinnxdx
????01?1cosn?????1?1cosn? =????????nnn???n2n?2 =
n??? ? =
?1?cosn??
?1???1?n? ???4?,n?1,3,5,... =?n?
??0,n?2,4,6,...将所求得的系数代入傅里叶级数展开式得：
f?x??4?11? sinx?sin3x?...?sin2k?1x?...?????32k?1??（???x???；x?0,??,?2?,...）
如果把例1的函数理解为矩形波的波形函数（周期T?2?，幅值E?1，自
变量x表示时间），那么上面所得的展开式表明：矩形波是由一系列不同频率的正弦波叠加而成的，这些正弦波的频率依次为基波频率的奇数倍．
例2 设f?x?是周期为2?的周期函数，它在???,??上的表达式为
?x,???x?0 f?x???
?0,0?x??将f?x?展开成傅里叶级数．
解 所给函数满足收敛定理的条件，它在点x??2k?1???k?0,?1,?2,...?处不连续，因此，f?x?的傅里叶级数在x??2k?1??处收敛于
10???fx?0?fx?0??= ??????222在连续点x?x??2k?1???处收敛于f?x?，和函数的图形如下
计算傅里叶系数如下：
1?1an??f?x?cosnxdx=
????1?xsinnxcosnx?? =???nn2??0
??xcosnxdx
?0
?? =
1n2??1?cosn??
?2,n?1,3,5,...? =?n2?
??0,n?2,4,6,...a0?bn?1?1????1?x2?f?x?dx??xdx????????2?100?????2
?????f?x?sinnxdx?xsinnxdx ????101?xcosnxsinnx? =???2???nn? =?0
??cosn??n??1?nn?1
将所求得的系数代入傅里叶级数展开式得：
f?x?????2???cosx?sinx? 4???1coxs?331coxs?55?xs?i n3??xs?i?n5 ?...1?2 ?sinx2??22?3?1?2 ?sinx4??24?5? 3,?...????x???;x???,?? 应当注意，如果函数f?x?只在???,??上有定义，并且满足收敛定理的条件，
那么f?x?也可以展开成傅里叶级数．事实上，我们可在???,??或???,??外补充函数f?x?的定义，使它拓广成周期为2?的周期函数F?x?．按这种方式拓广函数的定义域的过程称为周期延拓．再将F?x?展开成傅里叶级数，最后，限制x在???,??内，此时F?x??f?x?，这样便得到f?x?的傅里叶级数展开式．根据收敛定理，这级数在区间端点x???处收敛于
1f?x?0??f?x?0??． ?2??x,???x?0例3 将函数 f?x??? 展开成傅里叶级数．
x,0?x???解 所给函数在区间???,??满足收敛定理的条件．并且拓广为周期函数时，它在每一点x处都连续（如图）因此，拓广的周期函数的傅里叶级数在
???,??上收敛于f?x?．
计算傅里叶系数如下：
1? an??f?x?cosnx dx???101? =???x?cosnxdx??xcosnxdx
????01?xsinnxcosnx? =?????nn2?? =
2n2?0??1?xsinnxcosnx? ?????nn2??0??cosn??1?
?4,n?1,3,5,...?? =?n2?
??0,n?2,4,6,...a0?????1?f?x?dx=
0??x?dx??0??????101?xdx
1?x2? =?????2?bn?1????1?x2??????2???
0f?x?sinnxdx ???
=
1?????x?sinnxdx????01?0xsinnxdx
1?xcosnxsinnx? =????2???nn?0??1?xcosnxsinnx?????2? ??nn?0? =0 （n=1，2，3，?）
将所求得的系数代入傅里叶级数展开式得：
f?x???2?4?11?cosx?cos3x?cos5?...?? ????x??? 22??35?四 正弦级数与余弦级数
一般说来，一个函数的傅里叶级数既含有正弦项也含有余弦项．但是也有一些函数的傅里叶级数只含有正弦项或者只含有常数项和余弦项．这是什么原因呢？实际上，这些情况是与所给函数f?x?的奇偶性有密切关系的．对于周
期为2?的函数f?x?，它的傅里叶系数计算公式为
an?f?x ?n?0,1,2,3 ,...?cosnx d x?????1?f?x?sinnxdx ?n?1,2,3?, ...????由于奇函数在对称区间上的积分为零，偶函数在对称区间上的积分为半区间上的
bn?1?积分的两倍，因此，当f?x?为奇函数时，f?x?cosnx是奇函数，f?x?sinnx是偶函数，故有
an?0 ?n?0,1,2,3? ,...f?x?sinnxdx ?n?1,2,3?, ...??0即知奇函数的傅里叶级数是只含有正弦项的正弦级数
bn?2??bn?1?nsinnx
当f?x?为偶函数时，f?x?cosnx是偶函数，f?x?sinnx是奇函数，故有
an?f?x?cosnxdx ?n?0,1,2,3 ,...???02?bn?0 ?n?1,2,3?, ...即知偶函数的傅里叶级数是只含有常数项和余弦项的余弦级数
a0???ancosnx 2n?1 例4 设f?x?是周期为2?的周期函数，它在???,??上的表达式为f?x??x，
将f?x?展开成傅里叶级数．
解 首先，所给函数满足收敛定理的条件，它在点x??2k?1??
...f?x?的傅里叶级数在点x??2k?1??处收敛于 ?k?0,?1,?2?,处不连续，因此
f?x?0??f?x?0?2???????2?0
在连续点x?x??2k?1???处收敛于f?x?．和函数的图形如下
其次，若不计x??2k?1?? ?k?0,?1,?2?,，则...f?x?是周期为2?的奇函数．因此有
an?0 ?n?0,1,2,3? ,... bn?2???02?f?xdx?xsinnxdx ?sinnx=
??02?xcosnxsinnx??=??
??nn2??022n?1=?cosn?=??1? ?n?1,2,3?, ...nn将求得的bn代入正弦级数，得f?x?的傅里叶级数展开式为
n?1???1??11f?x??2?sinx?sin2x?sin3x?...?sinnx?...?
??23n?? ????x???;x???,?? 3,?...?t? 例5 将周期函数 u?t??Esin? 展开成傅里叶级数，其中E是正常??2?数．
解 所给函数满足收敛定理的条件，它在整个数轴上连续，如图所示，因此
u?t?的傅里叶级数处处收敛于u?t?