2009年全国各地数学模拟试卷(新课标)分章精编 - 空间向量与立体几何

2009年全国各地数学模拟试卷(新课标)分章精编

《空间向量与立体几何》

一、选择题

1.三棱锥D—ABC的三个侧面分别与底面全等,且AB=AC=3,BC=2,则二面角A—BC—D的大小为D

A. 300 B. 450 C.600 D.900 2.如图,矩形ABCD中,AB=3,BC=4,沿对角线BD将△ABD折起,使A点在平面BCD内的射影落在BC边上,若二面角C—AB—D的平面角大小为θ,则sin?的值等于( A ) A.

34737 B. C. D. 43473.如图,已知平面??平面?,A、B是平面?与平面?的交线上的两个定点,

DA??,CB??,且DA??,CB??,AD?4,BC?8,AB?6,在平面?内有一个动点P,使得?APD??BPC,则?PAB的面积的最大值是( C )

A.24 B.32 C.12 D.48

4.如图,在直三棱柱A1B1C1-ABC中,?BAC??2,AB=AC=A1A=1,已知G与E分别是棱A1B1和CC1

的中点,D与F分别是线段AC与AB上的动点(不包括端点)。若GD⊥EF,则线段DF的长度的取值范围是( A )

A

(A) B

O

D

C

第2题 第3题 第4题

?5.如图,在三棱锥P?ABC中,PA⊥底面ABC,∠ACB=90,AE⊥PB于E,AF⊥

A.[

15,1) B. [

1,2) C. [1, 52) D. [

15,2)

PC于F, 若PA?AB?2,∠BPC=?,则当?AEF的面积最大时,tan?的值为( D )

A. 2 B

12 C.2 D. 226.如图S为正三角形ABC所在平面外一点,且SA=SB=SC=AB,E、F分别为SC、AB中点,

则异面直线EF与SA所成角为(C)

A.90o B.60o C.45o D.30o

7.如图,三棱柱ABC-A1B1C1的侧面A1ABB1⊥BC,且A1C与底面成 45°角,AB=BC=2,则该棱柱体积的最小值为(C)

A.43 B.33 C.4 D. 3

ACFBPE 第5题 第6题 第7题 8.正四棱锥的侧棱长为23,侧棱与底面所成的角为60,则该棱锥的体积为(B ) A、3

B、6

C、9

D D、18

E M ? B D1 P ? N ? A1 F B1

C1 C

9.如图,正方体ABCD?A1B1C1D1的棱长为4,E,F分别是棱

的几何体的体积为( D )

CD、C1D1的中点,长为2的线段MN的一个端点M在线段

EF上运动,另一个端点N在底面A1B1C1D1上运动,则线段

MN的中点P的轨迹(曲面)与二面角D?C1D1?B1所围成 A 4?2? A. B.

33 C.

?? D. 6310.已知一个平面与正方体的12条棱所成的角都等于?,则sin?的值为( C )

二、填空题

1.在Rt△ABC中,两直角边分别为a、b,设h为斜边上的高,则

A.1 B.2

22C.3

3D.6

4111??,由此类比:222hab三棱锥S- ABC中的三条侧棱SA、SB、SC两两垂直,且长度分别为a、b、c,设棱锥底面上 的高为h,则

1111??? 。 h2a2b2c22.如图, 设A、B、C、D为球O上四点,若AB、AC、AD两两互相垂直,且

D A O C B

AB?AC?6,AD?2,则AD两点间的球面距离 2?3 .

3.已知体积为3的正三棱锥V?ABC的外接球的球心为O,满足OA?OB?OC?0,则三棱锥外接球的体积为____

16?. 3124.正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为1,E为A1B1的中点,则下列五个命题:

①点E到平面ABC1D1的距离为;

②直线BC与平面ABC1D1所成的角等于45?;

③空间四边形ABCD1在正方体六个面内形成六个射影, 其面积的最小值是;

A1D1.EC1B1CB12310④AE与DC1所成的角为arccos;

10⑤二面角A-BD1-C的大小为

DA5?. 6其中真命题是 ②③④ .(写出所有真命题的序号)

三、解答题

1.如图,在四棱锥P?ABCD中,底面为直角梯形,AD//BC,?BAD?90?,PA垂直于底面ABCD,PA?AD?AB?2BC?2,M,N分别为PC,PB的中点。

(1)求证:PB?DM;(2)求BD与平面ADMN所成的角;(3)求截面ADMN的面积。

解:(1)证明:因为N是PB的中点,PA?AB, 所以AN?PB。 由PA?底面ABCD,得PA?AD,

?又?BAD?90,即BA?AD,

? AD?平面PAB,所以AD?PB , ? PB?平面ADMN, ?PB?DM。

(2)连结DN,

因为BP?平面ADMN,即BN?平面ADMN, 所以?BDN是BD与平面ADMN所成的角, 在Rt?ABD中,BD?故BN?t?PAB在RBA2?AD2?22,

中,PB?PA2?AB2?22,

1BN1PB?2,在Rt?BDN中, sin?BDN??,又0??BDN??, 2BD2故BD与平面ADMN所成的角是

?。 611BC?, 22(3)由M,N分别为PC,PB的中点,得MN//BC,且MN?又AD//BC,故MN//AD,由(1)得AD?平面PAB,又AN?平面PAB,故

AD?AN,

?PA中B,PB?PA2?AB2?22,是直角梯形,在Rt?四边形ADMNAN?1PB?2, 211152。 ? 截面ADMN的面积S?(MN?AD)?AN?(?2)?2?2224(1)以A点为坐标原点建立空间直角坐标系A?xyz,如图所示(图略)

由PA?AD?AB?2BC?2,得A(0,0,0),P(0,0,2),B(2,0,0),M(1,,1),D(0,2,0) 因为PB?DM?(2,0,?2)(1,?123,1) ?0 ,所以PB?DM。 2(2)因为 PB?AD?(2,0,?2)?(0,2,0)?0 所以PB?AD,又PB?DM , 故PB?平面ADMN,即PB?(2,0,?2)是平面ADMN的法向量。 设BD与平面ADMN所成的角为?,又BD?(?2,2,0)。 则sin??|cos?BD,PB?|?又??[0,|BD?PB||?4|1??,

|BD||PB|4?4?4?42?2],故???6,即BD与平面ADMN所成的角是

?。 6ADCP因此BD与平面ADMN所成的角为

?, 6B2.如图,已知ABCD?A1B1C1D1是底面为正方形的长方体,

?AD1A1?60,AD1?4,点P是AD1上的动点.

A1D1B1C1(1)试判断不论点P在AD1上的任何位置,是否都有平面

B1PA1垂直于平面AA1D1D并证明你的结论;

(2)当P为AD1的中点时,求异面直线AA1与B1P所成角的余弦值; (3)求PB1与平面AA1D1所成角的正切值的最大值.

解:(1)不论点P在AD1上的任何位置,都有平面B1PA1垂直于平面AA1D1. 证明如下:由题意知,B1A1?A1D1,B1A1?A1A 又

AA1A1D1?A1

?B1A1?平面AA1B1?平面B1PA1 ?平面B1PA1?平面AA1D1 又A1D1. (2)解法一:过点P作PE?A1D1,垂足为E,连结B1E(如图),则PE∥AA1,

??B1PE是异面直线AA1与B1P所成的角.

BADCP在Rt△AA1D1中 ∵?AD1A1?60 ∴?A1AD1?30 ∴A1B1?A1D1?21111AD1?2, A1E?A1D1?1, 222A1EB1C1D11 ?B1E?BA?A1E?5. 又PE?AA1?3.

2?在Rt△B1PE中,B1P?5?3?22 cos?B1PE?PE36. ??B1P224zADC6. ?异面异面直线AA1与B1P所成角的余弦值为4B0,0),解法二:以A1为原点,A1B1所在的直线为x轴建立空间直角坐标系如图示,则A1(0,P0,0),P(010,23),B1P?(?21,,3) A(0,0,23),B1(2,,,3),?A1A?(0,A1D1y,B1P??∴cos?A1AA1A?B1P66. ??4|A1A|?|B1P|23?22xB1C1

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