2009年全国各地数学模拟试卷(新课标)分章精编 - 空间向量与立体几何

PB?(0,2,?(?1,1,?22),设A1E?x?BC?y?PB得 k2222)?x?(?2,?2,0)?y?(0,2,?) kk11解得x?, y?1, ∴A1E?BC?PB

22

BC?PB?B,A1E?平面PBC ∴A1E∥平面PBC

(Ⅱ)当k?2时,由P(0,0,2)、A(2,0,0)得PA?(2,0,?2)、BC?(?2,?2,0)、PB?(0,2,?2) ??1???0?n?BC?0设平面PBC的法向量为n?(1,?,?),则由?,得?,n?(1,?1,?1)

????0???n?PB?0cos?PA, n??PA?n?PA???n??66,∴直线PA与平面PBC所成角的大小为arcsin. 33?2222?2222OG?(?,,), ,则??333k333k??_

(Ⅲ) 由(Ⅰ)知?PBC的重心G为???,,??OG?BC?0若O在平面PBC内的射影恰好为?PBC的重心,则有?,解得k?2 ??OG?PB?0∴当k?2时,O在平面PBC内的射影恰好为?PBC的重心.

29. 如图,侧棱垂直底面的三棱柱ABC?A1B1C1的 底面ABC位于平行四边形ACDE中,AE?2, AC?AA1?4,?E?60?,点B为DE中点. (Ⅰ)求证:平面A1BC?平面A1ABB1. (Ⅱ)设二面角A1?BC?A的大小为?,直线

A1

B1

C1

C AC与平面A1BC所成的角为?,求sin(???)的值.

E 4,?E?60B ?,点B为D DE中解:(Ⅰ)方法一、在平行四边形ACDE中, ∵AE?2,AC?点.

∴?ABE?60?,?CBD?30?,从而?ABC?90?,即AB?BC 又AA1?面ABC,BC?面ABC ∴AA1?BC,而AA1第17题图

A AB?A, ∴BC?平面A1ABB1

∵BC?平面A1BC ∴平面A1BC?平面A1ABB1 方法二、∵AE?2,AC?4,?E?60?,点B为DE中点.

222∴AB?2,BC?23,AB?BC?16?AC,∴AB?BC

又AA1?面ABC,BC?面ABC,∴AA1?BC,而AA1AB?A,∴BC?平面A1ABB1

∵BC?平面A ∴平面A平面A 1BC1BC?1ABB1(Ⅱ)方法一、由(Ⅰ)可知A1B?BC,AB?BC ∴?A1BA为二面角A1?BC?A的平面角,即?A1BA??, 在Rt?A, 1AB中,AB?2,AA1?4,AB1?25z A1 B1 A E B D C1 sin??sin?A1BA?AA125AB5,cos?? ??A1B5A1B5以A为原点,建立空间直角坐标系A?xyz如图所示,

其中A,0),C(0,4,0),AC?(0,4,0), 1(0,0,4),B(3,1C y x AB,?4),BC?(?3,3,0), 1?(3,1???n?A1B?0?3x?y?4z?0设n?(x,y,z)为平面A的一个法向量,则,∴即BC??1???n?BC?0??3x?3y?0??x?3y ???z?y令y?1,得平面A,1), 1BC的一个法向量n?(3,1则sin??又0???|AC?n|45, ??5|AC||n|4?525,

25252555∴sin(???)?sin?cos??cos?sin??????15555A1 sin(???)?1

方法二、由(Ⅰ)可知A1B?BC,AB?BC

, ∴cos??1?sin2??∴?A1BA为二面角A1?BC?A的平面角,即?A1BA??, 在Rt?A1AB中,AB?2,AA1?4,AB1?25, F A E ?, 即

C1

B1

AA25AB5,cos?? sin??sin?A1BA?1??A1B5A1B5CF, 过点A在平面A1B于F,连结1ABB1内作AF?A则由平面A1BC?平面A1BC1ABB1,且平面AC

B

D

平面A1ABB1?A1B,得AF?平面A1BC

∴?ACD为直线AC与平面A1BC所成的角,即?ACD?? 在Rt?ACF中,AF?AF525AA1?AB452?,sin??,cos??1?sin?? ?AC55A1B5252555????1, 即sin(???)?1 5555∴sin(???)?sin?cos??cos?sin??如图4,已知多面体ABCDE中,AB⊥平面ACD,DE⊥平面ACD,

AC=AD=CD=DE=2,AB=1,F为CD的中点.

(Ⅰ)求证:AF⊥平面CDE;

(Ⅱ)求面ACD和面BCE所成锐二面角的大小; (Ⅲ)求三棱锥A?BCE的体积. 解:方法一 (Ⅰ)∵DE⊥平面ACD,AF?平面ACD,

∴DE⊥AF.又∵AC=AD,F为CD中点,∴AF⊥CD,因CD∩DE=D, ∴AF⊥平面CDE.

1 (Ⅱ)延长DA,EB交于点H,连结CH,因为AB∥DE,AB=DE,所以A为HD的中点.因

2为F为CD中点,所以CH∥AF,因为AF⊥平面CDE,所以CH⊥平面CDE,故∠DCE为面ACD和面BCE所成二面角的平面角,而△CDE是等腰直角三角形,则∠DCE=45°,则所求成锐二面角大小为45°.

1(Ⅲ)S?ABC??2?1?1,因DE∥AB,故点E到平面ABC的距离h等

23于点D到平面ABC的距离,也即△ABC中AC边上的高h??2?3.

213∴三棱锥体积V三棱锥A?BCE?V三棱锥E?ABC??1?3?.

33方法二 (Ⅱ)取CE的中点Q,连接FQ,因为F为CD的中点,则FQ∥DE,故DE⊥平面ACD,∴FQ⊥平面ACD,又由(Ⅰ)可知FD,FQ,FA两两垂直,以O为坐标原点,建立如图坐标系,则F(0,0,0),C(?1,0,0),A(0,0,3),B(0,1,3),E(1,2,0).平面ACD的一个法向量为FQ?(0,1,0),

设面BCE的法向量n?(x,y,z),CB?(1,1,3),CE?(2,2,0)则

??x?y?3z?0,?n?CB?0,?即?取n?(1,?1,0). ???2x?2y?0,?n?CE?0,?则cos?FQ,n??FQ?n0?1?02??.

2|FQ||n|2∴面ACD和面BCE所成锐二面角的大小为45°.

(Ⅲ)由(Ⅱ)知面BCE的一个法向量为n?(1,?1,0),

|AB?n|0?1?02. ??2|n|2AB?(0,1,0).点A到BCE的距离d?1又BC?5,BE?5,CE?22,△BCE的面积S?BCE??22?3?6.

2三棱锥A?BCE的体积V??6?

1323. ?23

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