∴异面异面直线AA1与B1P所成角的余弦值为
6． 4（3）由（1）知，B1A1?平面AA1PA1是PB1与平面AA1D1，??B1D1所成的角，
且tan?B1PA1?B1A12． ?A1PA1PA1D1?A1A?3 AD1当A1P?1P最小时，tan?B1PA1最大，这时A1P?AD1，由A得tan?B1PA1?2323，即PB1与平面AA所成角的正切值的最大值． D1133?3.如图，直角梯形ABCE中，?ABC??BCD?90,AB?BC?点M和点N在?ADE绕AD向上翻折的过程中，分别以?的速度，
同时从点A和点B沿AE和BD各自匀速行进，t 为行进时间，0??t?1CE?a，D是CE的中点，22a。
（1） 求直线AE与平面CDE所成的角； （2） 求证：MN//平面CDE。
解：（1）因AD?ED,AD?CD，所以AD⊥平面CDE，ED是
AE在平面CDE上的射影，∠AED=450，所以直线AE与平面CDE所成的角为450 （2）解法一：如图，取AB、AD所在直线为x轴、y轴建立直角坐标系A—xyz. 则AD?(0,a,0)
Z E M 得MN?(x2?x1,0,y2?y1)
由ADMN?0，得MN?AD，而AD是平面CDE的一个法向量，且MN?平面CDE， 所以MN//平面CDE 解法二：设在翻转过程中，点M到平面CDE的距离为d1，点N到平面CDE的距离为d2，则d1?(A Y 22?t,y1),N(x2,?t,y2)， 设M(x1,22D N B C X ?22a??t)co?sa??t，同理
42d2?22(2a??t)?a??t 22所以d1?d2，故MN//平面CDE
解法三：如图，过M作MQ//AD交ED于点Q， 过N作NP//AD交CD于点P， 连接MN和PQ
设⊿ADE向上翻折的时间为t，则AM??t，
BN??t(0??t?2a)
因AB?BC?1CE?a，点D是CE的中点，得2AB?BC?CD?DE?，a四边形ABCD为正方形，⊿ADE
为等腰三角形. ME?2a??t,DN?2a??t
在Rt⊿EMQ和Rt⊿DNP中，ME=ND，∠MEQ=∠NDP=450，所以Rt⊿EMQ≌Rt⊿DNP，
所以MQ//NP且MQ=NP，的四边形MNPQ为平行四边形，所以MN//PQ，因MN?平面CDE，
PQ?平面CDE，所以MN//平面CDE
4.如图，在三棱锥P-ABC中， PA=3，AC=AB=4，PB=PC=BC=5，D、E分别是BC、AC的中点，F
{ 为PC上的一点，且PF:FC=3:1．
（Ⅰ）求证：PA⊥BC；
（Ⅱ）试在PC上确定一点G，使平面ABG∥平面DEF； （Ⅲ）在满足（Ⅱ）的情况下，求二面角G-AB-C的
平面角的正切值．
2B
22F B 主
C
解： (Ⅰ) 在△PAC中，∵PA=3，AC=4，PC=5， ∴PA?AC?PC，∴PA?AC； 又AB=4，PB=5，∴在△PAB中，同理可得 PA?AB
据
∵AC?AB?A，∴PA?平面ABC ∵BC?平面ABC，∴PA⊥BC.
(Ⅱ) 如图所示取PC的中点G，连结AG，BG，∵PF:FC=3:1,∴F为GC的中点 又D、E分别为BC、AC的中点，∴AG∥EF，BG∥FD，又AG∩GB=G，EF∩FD=F ∴面ABG∥面DEF 即PC上的中点G为所求的点
(Ⅲ)由(Ⅱ)知G这PC的中点，连结GE，∴GE⊥平面ABC，过E作EH⊥AB于H，连结GH，则
GH⊥AB，∴∠EHG为二面角G-AB-C的平面角∵S?ABE?1539S?ABC? 又28S?ABE?1AB?EH 2∴EH?2S?ABEAB539135394 又 GE?PA???22416∴tan?EHG?EG316839 ∴二面角G-AB-C的平面角的正切值为???EH253965839 65CA?CB?CD?BD?2,AB?AD?2. 5.如图，四面体ABCD中，O、E分别是BD、BC的中点，
（I）求证：AO?平面BCD；
（II）求异面直线AB与CD所成角的余弦； （III）求点E到平面ACD的距离． 方法一：（I）证明：连结OC
A BO?DO,AB?AD,?AO?BD.
BO?DO,BC?CD,?CO?BD.
在?AOC中，由已知可得AO?1,CO?3.
222AC?2,?AO?CO?AC, 而
B D O E C ??AOC?90o,即AO?OC.
又AO?BD，BDOC?O,?AO?平面BCD
（II）解：取AC的中点M，连结OM、ME、OE，由E为BC的中点知ME∥AB,OE∥DC
?直线OE与EM所成的锐角就是异面直线AB与CD所成的角。
在?OME中， EM?121AB?,OE?DC?1,222OM是直角?AOC斜边AC上
的中线，
?OM?11?1/2?12AC?1,?cos?OEM??, 242?1?2/2
?异面直线AB与CD所成角大小的余弦为2/4；
VE?ACD?VA?CDE,
（III）解：设点E到平面ACD的距离为h.
11?h.S?ACD?.AO.S?CDE.33在?ACD中，CA?CD?2,AD?2, ?S?ACD?1?2?22?(2)2?7. 222而AO?1,S?CDE?1?3?22?3,
242?h?AO.S?CDE?S?ACD1?32?21.
772?点E到平面ACD的距离为
方法二： （I）同方法一．
21. 7 z （II）解：以O为原点，如图建立空间直角坐标系， 则B(1,0,0),D(?1,0,0),C(0,3,0),A(0,0,1),E(,A 13,0), 22O x B D BA?(?1,0,1),CD?(?1,?3,0).
?cos?BA,CD??BACD.BACD?2, 4E C y
?异面直线AB与CD所成角大小的余弦为2/4；
（
III
）
解
：
设
平
面
ACD
的
法
向
量
为
n?(x,y,z),则
??n.AD?(x,y,z).(?1,0,?1)?0, ???n.AC?(x,y,z).(0,3,?1)?0,??x?z?0, 令y?1,得n?(?3,1,3)是平面ACD的一个法向量． ????3y?z?0.
EC.n13321,0), 又EC?(?,?点E到平面ACD的距离h???. 2277nBC?CD，6.已知PA?平面ABCD，PA?AB?AD?2，AC与BD交于E点，BD?2，
（1）取PD中点F，求证:PB//平面AFC。 （2）求二面角A?PB?E的余弦值。
解法1:(1)联结EF，∵AB?AD，BC?CD，AC=AC ∴?ADC??ABC，∴E为BD中点，∵F为PD中点， ∴PB//EF， ∴PB//平面ACF
（2）联结PE，∵PA?AB?AD?BD?2， ∴在等边三角形ABD中,中线AE?BD，
又PA?底面ABCD， ∴PA?BD，∴BD?面PAE，
∴平面PAE?平面PBD。过A作AH?PE于H，则AH?平面PBD， 取PB中点G，联结AG、GH，则等腰三角形PAB中，AG?PB，
∵AH?PB，∴PB?平面AGH，∴PB?GH， ∴?AGH是二面角A?PB?E的平面角
等腰直角三角形PAB中，AG?2，等边三角形ABD中，AE?3， ∴Rt?PAE中，AH?232，∴GH?，
7727?1?7. ∴二面角A?PB?E的余弦值为7。
7727zP∴COS?AGH? 解法2：
GH?AG以AC、AP分别为y、z轴，A为原点，建立如图所示空间直角坐标系， ∵PA?AB?AD?BD?2，BC?CD ∴?ABC??ADC， ∴?ABD是等边三角形，且E是BD中点，AC?BD
则A(0，0，0)、B(10，2)、，3，0)、E(0，3，，3，0)、D(?10)、P(0，FD13F(?，，1)
22（1）PB?(1，3，?2)、FE?(，，?1) ∴PB?∴PB//EF，∴PB//平面ACF
AECyxB13221FE，2（2）设平面PAB、PBE的法向量分别为n1?(x1，y1，、0)n2?(x2，y2，?1)，. 则n1、n2的夹角的补角就是二面角A?PB?E的平面角； ∵AB?(1，3，0)，PB?(1，3，?2)，PE?(0，3，?2)，
由
n1?AB?0及
??n2?PB?0???n2?PE?0得
n1?(?310)，，，
n2?(0，-2，?1)3，
cos?n1，n2??n1?n27??，
7|n1|?|n2|7。 7∴二面角A?PB?E的余弦值为
7.如图，已知AB⊥平面ACD，DE//AB，△ACD是正三角形，AD=DE=2AB，且F是CD的中点。 （I）求证：AF//平面BCE；
（II）求证：平面BCE⊥平面CDE；
（III）求平面BCE与平面ACD所成锐二面角的大小。