【解】（I）解：取CE中点P，连结FP、BP，∵F为CD的中点，
∴FP//DE，且FP=
11DE. 又AB//DE，且AB=DE. 22∴AB//FP，且AB=FP， ∴ABPF为平行四边形，∴AF//BP。
又∵AF?平面BCE，BP?平面BCE， ∴AF//平面BCE。
（II）∵△ACD为正三角形，∴AF⊥CD。∵AB⊥平面ACD，DE//AB，
∴DE⊥平面ACD，又AF?平面ACD，∴DE⊥AF。又AF⊥CD，CD∩DE=D，
∴AF⊥平面CDE。
又BP//AF，∴BP⊥平面CDE。又∵BP?平面BCE，∴平面BCE⊥平面CDE。
（III）由（II），以F为坐标原点，FA，FD，FP所在的直线分别为x，y，z轴（如图），建立
空间直角坐标系F—xyz.设AC=2，则C（0，—1，0），
B(?3,0,1),E,(0,1,2).
设n?(x,y,z)为平面BCE的法向量,??3x?y?z?0,则n?CB?0,n?CE?0,即?令z?1,则n?(0,?1,1).?2y?2z?0.显然，m?(0,0,1)为平面ACD的法向量。 设平面
BCE
与平面
ACD
所成锐二面角为
?,则co?s?|m?n|12??.
|m|?|n|22??45?，即平面BCE与平面ACD所成锐二面角为45°。
8.四棱锥P—ABCD中，PA⊥面ABCD，PA=AB=BC=2，E为PA中点，过E作平行于底面的面EFGH
分别与另外三条侧棱交于F，G，H，已知底面ABCD为直角梯形，AD//BC，AB⊥AD，∠BCD=135° （1）求异面直线AF，BG所成的角的大小；
（2）设面APB与面CPD所成的锐二面角的大小为θ，求cosθ.
解：由题意可知，AP、AD、AB两两垂直，
可建立空间直角坐标系A—xyz，由平面几
何知识知：AD=4，D（0，4，0），B（2，0，0），
C（2，2，0），P（0，0，2），E（0，0，1）， F（1，0，1），G（1，1，1） （1）AF?(1,0,1),BG?(?1,1,1),?AF?BG?0
?AF与BG所成的角为?2.
（2）可证明AD⊥平面APB，∴平面APB的法向量为
n?(0,1,0)
??m?CD?0?y?1设平面CPD的法向量为m?(1,y,z),由? ?m?(1,1,2). ??z?2??m?PD?0??cos?m,n??
DAB?90?， AB∥9.如图，在四棱锥P—ABCD中，PA⊥底面ABCD，∠CD，
m?n66 ?,即cos??|m|?|n|66SAD=CD=2AB=2，E，F分别是PC，CD的中点． （Ⅰ）证明：CD⊥平面BEF；
（Ⅱ）设PA?k?AB,且二面角E?BD?C为60?，求k的值.
DMCB??解：（Ⅰ）证明： DF?AB??矩形ABFD?BF?CD
?DAB?90??? PA⊥平面ABCD，AD⊥CD.
DF//ABA由三垂线定理得PD?CD?? CD⊥平面BEF E是PC中点???EF?CD ∴
?EFPD??F是CD中点??（Ⅱ）连结AC且交BF于H，可知H是AC中点，连结EH,
由E是PC中点,得EH∥PA, PA⊥平面ABCD. 得EH⊥平面ABCD，且EH?1PA?k.
22作HM⊥BD于M，连结EM，由三垂线定理可得EM⊥BD. 故∠EMH为二面角E—BD—F的平面角，故∠EMH=600. ∵ Rt△HBM∽Rt△DBF, 故
HM11HMHB?. 得, 得 HM?. ?1DFBD55在Rt△EHM中，EH?tan60?,
HM得
5k?3,?k?215.
25解法2：（Ⅰ）证明，以A为原点，
建立如图空间直角坐标系A?xyz. 则B(0,1,0)，C(?2,2,0)，D(?2,0,0). 设PA = k,则P(0,0,k),
E(?1,?1,k),F(?2,1,0) 得CD?(0,?2,0),BE?(?1,0,k),BF?(?2,0,0)
22有?
??CD?BE?0,??CD?BF?0,?CD?BE,则??CD?BF,?CD?平面BEF.
(Ⅱ)PA?k(k?0),P(0,0,k),平面BCD的一个法向量AP?(0,0,k),
?BE?(?1,0,k),BD?(?2,?1,0). 2 设平面BDE的一个法向量n?(x,y,z),有n?BE,且n?BD，
k???n?BE?0,??x?2z?0,则? 得? 取x?1,???n?BD?0,??2x?y?0,AP?n由
得n?(1,?2,2).
kAP?n?|cos?AP?n??|cos60?,
得?1,2k5?42k2得5k2?4?16.?k?12?215.
5510.如图，已知棱柱ABCD?A1B1C1D1的底面是菱形，且AA1?面ABCD，?DAB?60，
?AD?AA1，F为棱AA1的中点，M为线段BD1的中点，
（1）求证：MF//面ABCD；（2）求证：MF?面BDD1B1； A1
D1
B1
M
F
D B C1
ABCD所成二面角的大小． （3）求面BFD1与面
（1）证明：连结AC、BD交于点O，再连结MO
C
111?OM//A1A且OM?A1A， 又?AF?A1A，
222A
?OM//AF且OM?AF ?四边形MOAF是平行四边形，?MF//OA D1
又?OA?面ABCD ?MF//面ABCD （2）证明：?底面是菱形， ?AC?BD 又?B1B?面ABCD，AC?面ABCD
?AC?B1B，?AC?面BDD1B1又?MF//AC?MF?面BDD1B1 E
（3）延长D1F、DE交于点E ?F是A1A的中点且ABCD是菱形
A A1
M
F
D O B B1
C1
C
?DA?AE?AB 又?DAB?60? ??DBE?90?
由三垂线定理可知 D1B?BE ??D1BD为所求角
?D1BD?在菱形ABCD中，?DAB?60? ?BC?3BD tanD1D?3 BD??D1BD?60?
11.如图所示的几何体ABCDE中,DA?平面EAB，CB//DA,EA?DA?AB?2CB， EA?AB，M是EC的中点. D (Ⅰ)求证:DM?EB;
(Ⅱ)求二面角M?BD?A的余弦值. 解法一: 分别以直线AE,AB,AD为
x轴、y轴、z轴，建立如图MC 所示的空间直角坐标系A?xyz，设CB?a，则
A A BA(0,0,0),E(2a,0,0),B(0,2a,0),C(0,2a,a),D(0,0,2a)，
a所以M(a,a,).
23(Ⅰ)证:DM?(a,a,-a),EB?(?2a,2a,0)
2E z D ?DM?EB?a?(-2a)?a?2a?0?0
?DM?EB,即DM?EB.
(Ⅱ)解:设平面MBD的
法向量为n?(x,y,z),DB?(0,2a,-2a)
由n?DB,n?DM得
E x A MC By ?n?DB?2ay-2az?0??3n?DM?ax?ay-az?0?2??y?z???3x?y?z?0?2?
取z?2得平面MBD的一非零法向量为n?(1,2,2) 又平面BDA的法向量为n1?(1,0,0) ?cos?n,n1??∴二面角M?BD?A的余弦值为
1?0?012?22?22?12?02?02?1， 31. 312.如图，三棱锥P—ABC中， PC?平面ABC，PC=AC=2，AB=BC，D是PB上一点，且CD?平面PAB．
(I) 求证：AB?平面PCB；
(II) 求异面直线AP与BC所成角的大小； （III）求二面角C-PA-B的大小．
解法一：(错误！未找到引用源。) ∵PC?平面ABC，AB?平面ABC，
∴PC?AB．∵CD?平面PAB，AB?平面PAB， ∴CD?AB．又PC?CD?C，∴AB?平面PCB．
(错误！未找到引用源。) 过点A作AF//BC，且AF=BC，连结PF，CF．
则?PAF 为异面直线PA与BC所成的角． 由（Ⅰ）可得AB⊥BC，∴CF?AF． 由三垂线定理，得PF?AF．则AF=CF=在Rt?PFA中， tan∠PAF=
CDEBADPBCAP2，PF=PC2?CF 2?6，
F?PF6=3，∴异面直线PA与BC所成的角为． ?3AF2（错误！未找到引用源。）取AP的中点E，连结CE、DE．∵PC=AC=2，∴CE ?PA，CE=2． ∵CD?平面PAB，由三垂线定理的逆定理，得 DE ?PA．∴?CED为二面角C-PA-B的平面角．
由(错误！未找到引用源。) AB?平面PCB，又∵AB=BC，可求得BC=2．在Rt?PCB中，PB=PC?BC?226，
263?．∴二面32 CD?CDPC?BC2?22?． 在Rt?CDE中， sin∠CED=??CEPB636． 3角C-PA-B的大小为arcsin