2009年全国各地数学模拟试卷(新课标)分章精编 - 空间向量与立体几何

?EM?tEF?????.?EF?(?3a,0,0)?,

EM?(?3at,0,0)?AM?AE?EM?(?3at,0,a)

?31又FD?(a,?a,?a),FB?(0,a,?a),

22?从而要使得:(?3at,0,a)?m(0,a,?a)?n(31a,?a,?a)成立, 22?3an??3at?2?113?需?0?ma?an,解得t? ?当EM?a时,AM//平面BDF

323??a??am?an??(Ⅲ)解法一、取EF中点G,EB中点H,连结DG,GH,DH

?DE?DF,?DG?EF?BC?平面ACFE?BC?EF

又?EF?FC,?EF?FB,又?GH//FB,?EF?GH

EFG?BE2?DE2?DB2

??DGH是二面角B?EF?D的平面角.

在?BDE中,DE?HD2a,DB?3a,BE?AE?AB?5a

AB22C??EDB?90?,?DH?552a. 又DG?a,GH?a. 22210, 10?在?DGH中,由余弦定理得cos?DGH?即二面角B?EF?D的平面角的余弦值为

10. 10z E F 解法二:由(Ⅰ)知,以点C为原点,CA,CB,CF所在直线为坐标轴, 建立空间直角坐标系,则C(0,0,0),B(0,a,0),A(3a,0,0),

D(3a1,?a,0),F(0,0,a),E(3a,0,a)过D作DG?EF, D 22??C O x A B y 垂足为G. 令FG??FE??(3a,0,0)?(3?a,0,0),

CG?CF?FG?(3a?,0,a), DG?CG?CD?(3?a??11由DG?EF得,DG?EF?0,????DG?(0,a,a),即

22?1GD?(0,?a,?a)

2??????????31a,a,a) 22A

?BC?AC,AC//EF,?BC?EF,?BF?EF

E

C

?F

?二面角B?EF?D的大小就是向量GD与向量FB所夹的

角.?FB?(0,a,?a)

??B D

cos?GD,FB????GD?FBGD?FB?????1010 即二面角B?EF?D的平面角的余弦值为. 101019.如图,已知?BCD中,?BCD?90?,BC?CD?1,AB⊥平面BCD,?ADB?60?,E、

AEAF???(0???1). ACAD(1)求证:不论?为何值,总有平面BEF⊥平面ABC;

(2)若平面BEF与平面BCD所成的二面角的大小为60?,求?的值。

F分别是AC、AD上的动点,且

解法一:(向量法):

过点C作Cz//AB ∵AB⊥平面BCD

∴Cz⊥平面BCD 又在?BCD中,?BCD?90?

∴BC?CD

如图,以C为原点,建立空间直角坐标系C?xyz. 又在?BCD中,?BCD?90?,BC?CD?1 ∴BD?2 又在Rt?ABD中,?ADB?60? ∴AB?6 则C(0,0,0),B(1,0,0),A(1,0,6),D(0,1,0) (1)证明:∵C(0,0,0),B(1,0,0),A(1,0,6),D(0,1,0) ∴BA?(0,0,6),CB?(1,0,0),CD?(0,1,0)

x z A E M B C F N D y ∴BA?CD?0,CB?CD?0 ∴BA?CD,CB?CD 又AB?BC?B ∴CD⊥平面ABC

AEAF???(0???1) ACAD∴不论?为何值,都有EF//CD ∴EF⊥平面ABC 又EF?平面BEF 不论?为何值,总有平面BEF⊥平面ABC

又在?ACD中,E、F分别是AC、AD上的动点, 且

(2)∵

AE??,∴AC,∵AC?(?1,0,?6),∴AE??AC???,0,?6?,

??又∵AB?0,0,?6,?BE?AE?AB???,0,6(1??) ,

设n?(x,y,z)是平面BEF的法向量,则n?BE,n?EF又EF//CD,

?????n?CD,∵CD=(0,1,0),

∴????x?6(1??)z?0?y?0

令z??得x?6(1??),y?0 ∴n?(6(1??),0,?),

∵ m?(0,0,1)是平面BCD的法向量,平面BEF与平面BCD所成的二面角为60?, ∴cos60??n?m|n||m|?1??1?6(1??)2??2?12∴?2?4??2?0,

∴??2?2或??2?2(不合题意,舍去),

故当平面BEF与平面BCD所成的二面角的大小为60?时??2?2.

解法二:∵

AE??,∴ AC, 设E(a,b,c),则(a?1,b,c?6)??(?1,0,?6),

∴a=1+?,b=0,c=6(1??), E(1+?,0, 6(1??)),∴BE?(??,0,6(1??))。 其余同解法一

(2)解法三:设n?(x,y,z)是平面BEF的法向量,则n?BE,n?BF,

AEAF???(0???1) ACAD

EMCECE ∴又在?BCD中,?BCD?90?,BC?CD?1 ?1?? ∴??1??ABACAC

∴BD?2 又在Rt?ABD中,?ADB?60? ∴AB?6 ∴EM?6(1??) 又又

BMAE???,且BC?1 ∴BM?? ∴CM?1?? ∴E(1??,0,6(1??)) BCACCN?BC??

F(1??,?,6(1??))

∴BE?(??,0,6(1??)),BF?(??,?,6(1??))

????x?6(1??)z?0∴?令z??得x?6(1??),y?0 ∴n?(6(1??),0,?) ????x??y?6(1??)z?0

其余同解法一

20.已知直三棱柱ABC?A1B1C1中,?ABC分别为?BAC?900,AB?AA1,D,E,FB1A,C1C,BC的中点. (1)求证:(2)求证:平面B1FA?DE∥平面ABC;平面AEF;

(3)求二面角B1?AE?F的大小。

解:以A为原点,以射线AB、AC、AA1分别为x、y、z的正半轴建立空间直角坐标系,由AB=AC=AA1=2,可知各点坐标分别为:

A(0,0,0,),B(2,0,0),C(0,2,0),B1(2,0,2),E(0,2,1),F(1,1,0),D(1,0,1)

(1)?DE???1,2,0?, 设点G(-1,2,0),则

为等腰直角三角形,

AG?(?1,2,0)

?DE∥AG,AG?平面ABC, DE?平面ABC?DE∥平面ABC (2)证明:

B1F???1,1,?2?,EF??1,?1,?1?,AF??1,1,0???B1F?EF?(?1)?1?1?(?1)?(?2)?(?1)?0,B1F?AF?(?1)?1?1?1?21?0?0,?B1F?EF,B1F?AF,又AFB1F?平面B1FAEF?F,?B1F?平面AEF

?平面B1FA?平面AEF

(3)由(2)可知

B1F???1,1,?2?是平面AEF的一个法向量设二面角B1?AE?F的大小为?,根据已知得?为锐角设平面AEB1的一个法向量为n??x,y,1?,??n?AE?0?AE??0,2,1?,AB1??2,0,2?且???n?AB1?0

1??2y?1?01??y?????,解得?,?n??1,?,1??22???2x?2?0??x??1?co?s?n?B1FnB1F?6,?ta?n?56???arcta5n?二面角B1?AE?F的大小为arctan5

21.已知四棱台ABCD?A中,底面ABCD是1BC11D1(如图)

正方形,且DD1?底面ABCD,AB?2A. 1B1?2DD1?2a(1)求异面直线AB1与DD1所成角的余弦值;

(2)试在平面ADD1A1中确定一个点F,使得FB?平面BCC1B1; (3)求二面角F?CC1?B的余弦值(F满足(2)).

解:以D为原点,DA、DC、DD1所在的直线为x,y,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,

则D(0,0,0),A(2a,0,0),B1(a,a,a),D1(0,0,a),B(2a,2a,0),C(0,2a,0),C1(0,a,a) (1)

AB1?(?a,a,a),DD1?(0,0,a),

AB1?DD1a23?cosAB1,DD1)???,

223AB1?DD13aa即直线AB1与DD1所成角的余角的余弦值为(2)设F(x,0,z),3 3BB?(?a,?a,a),BC?(?2a,0,0),FB1?(a?x,a1,a?z),

2??FB1?BB1?0,??a(a?x)?a?a(a?z)?0 由FB1?平面BCC1B1得?即?

??FB1?BC?0,??2a(a?x)?0得??x?a,

?z?0,?F(a,0,0),即F为DA的中点.

(3)由(2)知FB2为平面BCC1B1的法向量.设n?(x1,y1,z1)为平面FCC1的法向量,

CC?(0,?a,a),FC?(?a,2a,0)

令y1?1得x1?2,z1?1,

??n?CC1?0,??ay1?az1?0由?即?

?ax?2ay?01??n?FC?0,?1?n?(2,1,1),cosn,FB1?n?FB1a?a3, ??2|n||FB1|36?2a3? 3即二面角F?CC1?B的余弦值为

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