2009年全国各地数学模拟试卷(新课标)分章精编 - 空间向量与立体几何

22.如图所示的几何体是由以正三角形ABC为底面的直棱柱(侧棱垂直于底面的棱柱)被平面DEF所截而得.AB=2,BD=1,CE=3,AF=a,O为AB的中点. (I)当a?5时,求证:OC//平面DEF;

(II)当a?4时,求平面DEF与平面ABC相交所成且为锐角的二面角的余弦值;

(III)当a为何值时,在DE上存在点P,使CP?平面DEF?

PFE

(I)证:取DF的中点G,连结GE.由三棱柱得,AF//BD//CE, 而BD=1,AF=5,∴ 四边形ABDF为梯形,∵OG为梯形ABDF的中位线

∴OG//AF,且OG=3 而CE//AF,且CE=3 ∴OG//CE ∴四边形OCEG为平行四边形 ∴GE//OC

又OC?平面DEF,GE?平面DEF ∴ OC//平面DEF

(II)以直线OB.OC分别为x轴.y轴建立如图所示的空间直

角坐标系, AF=a?4,则D.E.F的坐标分别为:D(1,0,1).E(0,3,3).F(-1,0,4),

AFAODCBz EG3PDOB2Cy

∴DE=(-1,3,2),DF=(-2,0,3) 设平面DEF的法向量n?(x,y,z),

x 由??3333?n?DE??x?3y?2z?0z 可取n?(,?,1) 得 x?z,y??2626??n?DF??2x?3z?0平面ABC的法向量可以取m?(0,0,1) ∴cosm,n?m?nmn?191??1412?30 10∴平面DEF与平面ABC所成的锐二面角的余弦值为

30. 10(III)在(II)的坐标系中,AF=a,DE=(-1,3,2),DF=(-2,0,a-1).因P在DE上,设DP??DE,则OP?OD?DP?(1,0,1)??(?1,3,2)?(1??,3?,2??1) ∴CP?OP?OC?(1??,3?,2??1)?(0,3,0)?(1??,3(??1),2??1) 于是CP?平面DEF的充要条件就为

?1?CP?DE???1?3(??1)?2(2??1)?0 由此解得,??,a?2 ?4??CP?DF??2(1??)?(a?1)(2??1)?0即当a=2时,在DE上存在靠近D的第一个四等分点P,使CP?平面DEF.

23.如图,在三棱柱ABC?A1B1C1中,AB?侧面BB1C1C,已知BC?1,?BCC1?(1)求证:C1B?平面ABC;

(2)试在棱CC1(不包含端点C、C1)上确定一点E的位置,使得EA?EB1;

(3) 在(2)的条件下,求二面角A?EB1?A1的平面角的正切值.

证明:(1)因为AB?侧面BB1C1C,故AB?BC1 在?BC1C中,BC?1,CC1?BB1?2,?BCC1?由余弦定理有

CBEC1B1A?3.

A1?3

BC1?BC2?CC12?2?BC?CC1?cos?BCC1????1?4?2?2?cos 故有 BC2?BC12?CC12?????????C1B?BC 而 BC?3?3 AA1AB? B且AB,BC?平面ABC

BB1C ?C1B?平面AB.

CE

(2)由EA?EB1,AB?EB1,ABC1AE?A,AB,AE?平面ABE

从而B1E?平面ABE 且BE?平面ABE 故BE?B1E

22不妨设 CE?x,则C1E?2?x,则BE?1?x?x

2?B1C1C?? 则B1E2?1?x2?x

322x??1(舍负) 在Rt?BEB1中有 x?x?1?x?x?1?4 从而

故E为CC1的中点时,EA?EB1.

法二:以B为原点BC,BC1,BA为x,y,z轴,设CE?x, 则B(0,0,0),E(1?1x),B1(?1,3,0),A(0,0,2) 2zAA1 由EA?EB1得 EA?E1B?0 即

1313(x?1,?x,2)(x?2,3?x,0)?02222

??1133(x?1)(x?2)?x?3?x???0222?2??化简整理得 x2?3x?2?0 x?1 或 x?2

CByB1当x?2时E与C1重合不满足题意

EC1x当x?1时E为CC1的中点, 故E为CC1的中点使EA?EB1.

N,AB1的中点M (3)取EB1的中点D,A1E的中点F,BB1的中点

连DF则DF//A1B1,连DN则DN//BE,连MN则MN//A1B1 连MF则MF//BE,且MNDF为矩形,MD//AE 又

A1B1?EB1,BE?EB1 故?MDF为所求二面角的平面角.

AMA112在Rt?DFM中,DF?A1B1? (?BCE为正三角形)22111BE?CE? 22212 ?tan?MDF?2?222MF?BFNDB1CEC1?法二:由已知EA?EB1,B1A1?A1的平面角的大小为向量1?EB1, 所以二面角A?EBB1A1与EA的夹角

因为B1A1?BA?(0,0,2) EA?(?31,?,2) 22故 cos??

EA?B1A1EA?B1A1?22?tan??. 2324.图1,在矩形ABCD中,AB?2,AD?1,E是CD的中点,以AE为折痕将?DAE向上折起,使D为D?,且平面D?AE?平面ABCE. (Ⅰ)求证:AD??EB; (Ⅱ)求直线AC与平面ABD?所成角的正弦值.

DECD?ECB

AB图1

A解(Ⅰ)在Rt?BCE中,BE?在Rt?AD?E中,AE?BC2?CE2?2,

D?A2?D?E2?2,

∵AB2?22?BE2?AE2,

AE?BE. ∴

∵平面AED??平面ABCE,且交线为AE, BE?平面AED?. ∴

AD??平面AED?, ∵

AD??BE. ∴

(Ⅱ)设AC与BE相交于点F,由(Ⅰ)知AD??BE, AD??ED?, ∵

AD??平面EBD?, ∴

AD??平面AED?, ∵∴平面ABD??平面EBD?,且交线为BD?,

如图2,作FG?BD?,垂足为G,则FG?平面ABD?, 连结AG,则?FAG是直线AC与平面ABD?所成的角. 由平面几何的知识可知

EFEC112??,∴EF?EB?. FBAB233在Rt?AEF中,AF?AE2?EF2?2?225?, 93在Rt?EBD?中,

FGD?E26?,可求得FG?. FBD?B926FG30∴. sin?FAG??9?AF25153∴直线AC与平面ABD?所成的角的正弦值为

30. 1525.三棱锥被平行于底面ABC的平面所截得的几何体如图所示,截面为A1 B1 C1,平面A1 A1⊥平面ABC,A1A1?3,AB=AC=2,A1 C1=1,

BA?AC?23,D是BC的中点.

(I)证明:平面A1AD上平面BC C1 B1; (II)求二面角A-B B1-C的大小. 解:(I)∵A1 A⊥平面ABC,BCC平面ABC, ∴A1 A⊥BC.

∵BA?AC?23,AB=AC=2

∴∠BAC=60°,∴△ABC为正三角形,即AD⊥BC. 又A1 A∩AD=A,∴BC⊥平面A1AD,

∵BC?平面BCC1B1,∴平面A1 AD⊥平面BCC1B1. (Ⅱ)如图,建立空间直角坐标系,

则A(0,0,0),B(2,0,0),C(1,3,0),

A1(0,0,

3),B1(1,0,3),

∴BB1?(?1,0,3),BC?(?1,3,0), 显然,平面ABB1A1的法向量为m=(0,1,0),

设平面BCC1B1的法向量为n=(m,n,1),则BC?n?0,BB1?n?0

???m?3n?0∴? ∴m?3,n?1, ???m?3?0 n?(3,1,1), cosm,n?0?3?1?1?0?112?02?02?(3)2?12?12?1 55 526.正方体ABCD—A1B1C1D1中,M、N、P分别为棱AB、BC、DD1的中点.

即二面角A-BB1-C为arccos

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