22.如图所示的几何体是由以正三角形ABC为底面的直棱柱（侧棱垂直于底面的棱柱）被平面DEF所截而得．AB=2，BD=1，CE=3，AF=a，O为AB的中点． （I）当a?5时，求证：OC//平面DEF；
（II）当a?4时，求平面DEF与平面ABC相交所成且为锐角的二面角的余弦值；
（III）当a为何值时，在DE上存在点P，使CP?平面DEF？
PFE
（I）证：取DF的中点G，连结GE．由三棱柱得，AF//BD//CE， 而BD=1，AF=5，∴ 四边形ABDF为梯形，∵OG为梯形ABDF的中位线
∴OG//AF，且OG=3 而CE//AF，且CE=3 ∴OG//CE ∴四边形OCEG为平行四边形 ∴GE//OC
又OC?平面DEF，GE?平面DEF ∴ OC//平面DEF
（II）以直线OB．OC分别为x轴．y轴建立如图所示的空间直
角坐标系， AF=a?4，则D．E．F的坐标分别为：D（1，0，1）．E（0，3，3）．F（-1，0，4），
AFAODCBz EG3PDOB2Cy
∴DE=（-1，3，2），DF=（-2，0，3） 设平面DEF的法向量n?(x,y,z)，
x 由??3333?n?DE??x?3y?2z?0z 可取n?(,?,1) 得 x?z,y??2626??n?DF??2x?3z?0平面ABC的法向量可以取m?(0,0,1) ∴cosm,n?m?nmn?191??1412?30 10∴平面DEF与平面ABC所成的锐二面角的余弦值为
30． 10（III）在（II）的坐标系中，AF=a，DE=（-1，3，2），DF=（-2，0，a-1）．因P在DE上，设DP??DE，则OP?OD?DP?(1,0,1)??(?1,3,2)?(1??,3?,2??1) ∴CP?OP?OC?(1??,3?,2??1)?(0,3,0)?(1??,3(??1),2??1) 于是CP?平面DEF的充要条件就为
?1?CP?DE???1?3(??1)?2(2??1)?0 由此解得，??,a?2 ?4??CP?DF??2(1??)?(a?1)(2??1)?0即当a=2时，在DE上存在靠近D的第一个四等分点P，使CP?平面DEF．
23.如图，在三棱柱ABC?A1B1C1中，AB?侧面BB1C1C，已知BC?1,?BCC1?（1）求证：C1B?平面ABC；
（2）试在棱CC1(不包含端点C、C1)上确定一点E的位置,使得EA?EB1；
(3) 在（2）的条件下,求二面角A?EB1?A1的平面角的正切值.
证明:（1）因为AB?侧面BB1C1C，故AB?BC1 在?BC1C中，BC?1,CC1?BB1?2,?BCC1?由余弦定理有
CBEC1B1A?3.
A1?3
BC1?BC2?CC12?2?BC?CC1?cos?BCC1????1?4?2?2?cos 故有 BC2?BC12?CC12?????????C1B?BC 而 BC?3?3 AA1AB? B且AB,BC?平面ABC
BB1C ?C1B?平面AB.
CE
（2）由EA?EB1,AB?EB1,ABC1AE?A,AB,AE?平面ABE
从而B1E?平面ABE 且BE?平面ABE 故BE?B1E
22不妨设 CE?x，则C1E?2?x，则BE?1?x?x
又
2?B1C1C?? 则B1E2?1?x2?x
322x??1（舍负） 在Rt?BEB1中有 x?x?1?x?x?1?4 从而
故E为CC1的中点时，EA?EB1.
法二：以B为原点BC,BC1,BA为x,y,z轴，设CE?x， 则B(0,0,0),E(1?1x),B1(?1,3,0),A(0,0,2) 2zAA1 由EA?EB1得 EA?E1B?0 即
1313(x?1,?x,2)(x?2,3?x,0)?02222
??1133(x?1)(x?2)?x?3?x???0222?2??化简整理得 x2?3x?2?0 x?1 或 x?2
CByB1当x?2时E与C1重合不满足题意
EC1x当x?1时E为CC1的中点， 故E为CC1的中点使EA?EB1.
N，AB1的中点M （3）取EB1的中点D，A1E的中点F，BB1的中点
连DF则DF//A1B1，连DN则DN//BE，连MN则MN//A1B1 连MF则MF//BE，且MNDF为矩形，MD//AE 又
A1B1?EB1,BE?EB1 故?MDF为所求二面角的平面角.
AMA112在Rt?DFM中，DF?A1B1? (?BCE为正三角形）22111BE?CE? 22212 ?tan?MDF?2?222MF?BFNDB1CEC1?法二：由已知EA?EB1,B1A1?A1的平面角的大小为向量1?EB1， 所以二面角A?EBB1A1与EA的夹角
因为B1A1?BA?(0,0,2) EA?(?31,?,2) 22故 cos??
EA?B1A1EA?B1A1?22?tan??. 2324.图1，在矩形ABCD中，AB?2,AD?1,E是CD的中点，以AE为折痕将?DAE向上折起，使D为D?，且平面D?AE?平面ABCE． （Ⅰ）求证：AD??EB； （Ⅱ）求直线AC与平面ABD?所成角的正弦值．
DECD?ECB
AB图1
A解（Ⅰ）在Rt?BCE中，BE?在Rt?AD?E中，AE?BC2?CE2?2，
D?A2?D?E2?2，
∵AB2?22?BE2?AE2，
AE?BE． ∴
∵平面AED??平面ABCE，且交线为AE， BE?平面AED?． ∴
AD??平面AED?， ∵
AD??BE． ∴
（Ⅱ）设AC与BE相交于点F，由（Ⅰ）知AD??BE， AD??ED?， ∵
AD??平面EBD?， ∴
AD??平面AED?， ∵∴平面ABD??平面EBD?，且交线为BD?，
如图2，作FG?BD?，垂足为G，则FG?平面ABD?， 连结AG，则?FAG是直线AC与平面ABD?所成的角． 由平面几何的知识可知
EFEC112??，∴EF?EB?． FBAB233在Rt?AEF中，AF?AE2?EF2?2?225?， 93在Rt?EBD?中，
FGD?E26?，可求得FG?． FBD?B926FG30∴． sin?FAG??9?AF25153∴直线AC与平面ABD?所成的角的正弦值为
30． 1525.三棱锥被平行于底面ABC的平面所截得的几何体如图所示，截面为A1 B1 C1，平面A1 A1⊥平面ABC，A1A1?3，AB=AC=2，A1 C1=1，
BA?AC?23，D是BC的中点．
(I)证明：平面A1AD上平面BC C1 B1； (II)求二面角A－B B1－C的大小． 解：(I)∵A1 A⊥平面ABC，BCC平面ABC， ∴A1 A⊥BC．
∵BA?AC?23，AB=AC=2
∴∠BAC=60°，∴△ABC为正三角形，即AD⊥BC． 又A1 A∩AD=A，∴BC⊥平面A1AD，
∵BC?平面BCC1B1，∴平面A1 AD⊥平面BCC1B1． (Ⅱ)如图，建立空间直角坐标系，
则A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(1，3，0)，
A1(0，0，
3)，B1(1，0，3)，
∴BB1?(?1,0,3),BC?(?1,3,0)， 显然，平面ABB1A1的法向量为m=(0，1，0)，
设平面BCC1B1的法向量为n=(m，n，1)，则BC?n?0,BB1?n?0
???m?3n?0∴? ∴m?3,n?1， ???m?3?0 n?(3,1,1)， cosm，n?0?3?1?1?0?112?02?02?(3)2?12?12?1 55 526.正方体ABCD—A1B1C1D1中，M、N、P分别为棱AB、BC、DD1的中点.
即二面角A－BB1－C为arccos