2009年全国各地数学模拟试卷(新课标)分章精编 - 空间向量与立体几何

(1)求证:PB⊥平面MNB1;

(2)设二面角M—B1N—B为α,求cosα的值. 解:(1)如图,以D为原点,DA、DC、DD1分别为x轴、y轴、 z轴建立空间直角坐标系,取正方体棱长为2,则 P(0,0,1)、M(2,1,0)、B(2,2,0)、B1(2,2,2).

∵PB·MB1 =(2,2,-1)·(0,1,2)=0, ∴MB1⊥PB,同理,知NB1⊥PB.

∵MB1∩NB1=B1,∴PB⊥平面MNB1. (2)∵PB⊥平面MNB1,BA⊥平面B1BN,

∴PB=(2,2,-1)与BA=(0,2,0)所夹的角即为α,

A1 D1 C1

B1

D C N

M

B

P 2cosα==.

|PB||BA|3

PB?BAA

27.如图,在四棱锥P?ABCD中,底面ABCD为正方形,且PD?平面ABCD,

PD?AB?1,E,F分别是PB,AD的中点.

(1)证明:EF?平面PBC; (2)求二面角B?FC?E的大小.

解:(1)以D为坐标原点,DA所在的直线为x轴、

DC所在的直线为y轴、DP所在的直线为x轴, 建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz

则A(1,0,0),B(1,1,0),C(0,1,0), P(0,0,1),∴E(,,),F(,0,0). ∴EF?(0,?1112221211,?),BC?(?1,0,0),CP?(0,?1,1),所以EF?BC?0,EF?CP?0, 22所以EF?BC,EF?CP,又BC?CP?C,故EF?平面PBC. (2)设平面FCE的法向量为n?(x0,y0,z0),CE?(,?121111,),EF?(0,?,?) 222211??x0?2?y?z0?00????EF??00?nnEF???22?由取?y0?1,∴n?(2,1,?1). ???nnCE??CE??00?1x?1y?1z?0?z??1???000?0??222又平面BCF的一个法向量为DP?(0,0,1),

所以cos?DP,n???11?6??6. 6∵二面角B?FC?E是锐二面角,即二面角B?FC?E的大小是一个锐角, ∴二面角B?FC?E的大小与?DP,n?是互补的. 故二面角B?FC?E的大小为arccos66 28.三棱锥

P—ABC,截面

A1B1C1//底面

ABC,∠BAC=90°,PA⊥底面

A1A=

3,AB?2,AC?2,A1C1?1,BD1DC?2. (1)求证:平面A1AD⊥平面BCC1B1; (2)求二面角A—CC1—B的大小。

解:(1)BC?AB2?AC2?6,A到BC距离d?AB?AC?23BC3

令d=AD′,BD′=AB2?d2?6又63,BD=

?D?与D重合

3?AD?BC又BC?PA,?BC?面A,ADBC?为BCC1B

?平面A1AD?平面BCC1B1

(2)建系:A(0,0,0)

,AB为x轴,AC为y轴,AP为z轴, 则B(2,0,0),C(0,2,0),A1(0,0,3),C(0,1,3) 平面ACC1的法向量n?(1,0,0)在平面BCC1内,BC?(?2,2,0)

CC?(0,?1,3)设法向量为m?(x,y,z)

???BC?m??22x?2y?0 ??CC?m??y?3z?0令z?3得y?3,x?32?m?(32,3,3)

cos??n?m?32|n|?|m|?151?305

ABC,

二面角A—CC1—B的大小为arccos155

29.如图,在各棱长均为2的三棱柱ABC-A1B1C1中,侧面A1ACC1⊥底面ABC,∠A1AC=60°. (Ⅰ)求侧棱AA1与平面AB1C所成角的正弦值的大小;

(Ⅱ)已知点D满足BD?BA?BC,在直线AA1上是否存在点P,使DP∥平面AB1C?若存在,请确定点P的位置;若不存在,请说明理由.

解:(Ⅰ)∵侧面A1ACC1⊥底面ABC,作A1O⊥AC于点O, ∴A1O⊥平面ABC.又∠ABC=∠A1AC=60°,且各棱长都相等, ∴AO=1,OA1=OB=3,BO⊥AC.

故以O为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz,则

A(0,-1,0),B(3,0,0),A1(0,0,3),C(0,1,0),AA,3); 1?(0,1∴AB1??3,2,3,AC??0,2,0?.设平面AB1C的法向量为n=(x,y,1)

???n?AB1?3x?2y?3则?解得n=(-1,0,1). ??n?AC?2y?0

AA1?n36由cos=??. ,n14AA1?n22而侧棱AA1与平面AB1C所成角,即是向量AA1与平面AB1C的法向量所成锐角的余角,

∴侧棱AA1与平面AB1C所成角的正弦值的大小为

6. 4(Ⅱ)∵BD?BA?BC,而BA??3,?1,0,BC??3,1,0. ∴BD?(?23,0,0) 又∵B(3,0,0),∴点D的坐标为D(-3,0,0).假设存在点P符合题意, 则点P的坐标可设为P(0,y,z). ∴DP??????3,y,z

?∵DP∥平面AB1C,n=(-1,0,1)为平面AB1C的法向量, ∴由AP??AA1,得??y?1???3??3,?y?0.

PP1B2ABC又DP?平面AB1C,故存在点P,使

BADP∥

1CD1平面AB1C,其从标为(0,0,3),即为A1点

30.一个四棱锥的直观图和三视图如示:

CBAD恰好

图所

P

(Ⅰ)求三棱锥A-PDC的体积;

(Ⅱ)试在PB上求点M,使得CM∥平面PDA;

(Ⅲ) 在BC边上是否存在点Q,使得二面角A-PD-Q为120?若存在,确定点Q的位置;若

不存在,请说明理由.

由三视图可知:PB?底面ABCD,底面ABCD为直角梯形,,PB=BC=CD=1,AB=2

111VA?PCD?VP?CDA???1?1?

326(Ⅱ) 当M为PB的中点时CM∥平面PDA.

取PB中点N,连结MN,DN,可证MN∥DN且MN=DN ∴CM∥DN,∴CM∥平面PDA (Ⅲ)分别以BC、BA、BP所在直线为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系. 假设在BC边上存在点Q,使得二面角A-PD-Q为120

∴B?0,0,0?,A?0,2,0?,D?1,1,0?,P?0,0,1?,且设Q(x,0,0)x?[0,1],

ur设平面PND的法向量n1?(x1,y1,z1) uruuururuuururuuuruuuruuur∴n1?DQ,n1?PQ∴n1?DQ?0n1?PQ?0

uuuuuruuur∵DQ?(x?1,?1,0),PD?(1,1,?1)ur?x1(x?1)?y1?011

∴?令z1?1得n1?(,1?,1)x?y?z?0xx?111uuruur同理,设平面PDA的法向量n2?(x2,y2,z2),可得n2?(1,1,2)

uruururuurn1?n2COSn1,n2?uruur?n1?n231=-cos120?,

2112?(1?)?1?6x2x解得x?1,即N(1,0,0)为BC边中点.

22

AC中点.AB?2 31.如图,正三棱柱ABC?A1B1C1中, E是

B B1

A A1

(1)求证:AB1//平面BEC1;

(2) 当A二面角E?BC1?C 的正弦值为1A为何值时,解:(1) 连接B1C交BC1于点F,连接EF.

在?AB1C中,?E,F分别为AC,B1C中点,?EF//AB1.

10? 5C

E

C1

?AB1?平面BEC1,EF?平面BEC1,?AB1//平面BEC1. (2):设AA1?a,取A1C1中点G,连接EG, 以E为坐标原点建立空间直角坐标系,如右图所示: 则E?0,0,0?,B0,0,3,C1?1,a,0?,C?1,0,0?,

z B A E B1 A1 ??C x G C1 y 则BE?0,0,?3,C1E???1,?a,0?,BC1?1,a,?3,BC?1,0,?3.

设平面BEC1的法向量为m1??x1,y1,z1?,平面BC1C的法向量为m2??x2,y2,z2?,

???????????3z1?0?x2?ay2?3z2?0?m1?BE?0?m2?BC1?0则有?,?,即?,?,

???x1?ay1?0??x2?3z2?0?m1?C1E?0??m2?BC?01设x1?1,x2?3,则y1??,z1?0,y2?0,z2?3,

a?1??m1??1,?,0?,m2?3,0,3

?a??cos?m1,m2????m1?m2m1m2?1?319?3a2?15,解得a?2. 5?即当AA1?2时,二面角E?BC1?C的正弦值为

10. 532.四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是边长为2的正方形,PB⊥BC,PD⊥CD,且PA=2,E点满

13(I)求证:PA⊥平面ABCD; (II)求二面角E-AC-D的大小;

足PE?PD.

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