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8. 求曲面Z=arctg
y???在点?1,1,?处的切平面方程和法线方程.
4?x?9. 求曲面3x2+y2-Z2=27在点(3,1,1)处的切平面方程与法线方程.
10. 在曲面Z=xy上求一点,使这点的切平面平行于平面x+3y+Z+9=0,并写出这切平面方程和法线方程.
11. 计算近似值:
(1) 1.002×2.0032×3.0043; (2) sin29°×tg46°.
12. 设园台上下底的半径分别为R=30cm, r=20cm高h=40cm. 若R,r,h分别增加3mm,4mm,2mm.求此园台体积变化的近似值.
13. 设二元函数f在区域D=[a,b]×[c,d]上连续 (1) 若在intD内有fx≡0,试问f在D上有何特性? (2) 若在intD内有fx=fy≡0,f又怎样?
(3) 在(1)的讨论中,关于f在D上的连续性假设可否省略?长方形区域可否改为任意区域?
x2?y214. 求曲面Z=与平面y=4的交线在x=2处的切线与OZ轴的交角.
415. 测得一物体的体积v=4.45cm3,其绝对误差限为0.01cm3,又测得重量W=30.80g,其绝对误差限为0.018,求由公式d=
w算出的比重d的相对误差限和绝对误差限. vdZ; ?x16.求下列复合函数的偏导数或导数: (1) 设Z=arc tg(xy),y=ex,求
(2) 设Z=
x?yexy22x2?y2xy,求
?Z?Z,; ?x?y?Z; dtu?Z?Z(4) 设Z=x2lny,x=,y=3u-2v,求，；
v?u?v(3) 设Z=x2+xy+y2,x=t2,y=t,求(5) 设u=f(x+y,xy),求
?u?u,; ?x?y(6) 设u=f???xy??u?u?u,求,,. ,???yZ??x?y?Z17.求函数u=xy2+z3-xyz在点(1,1,2)处沿方向L(其方向角分别为60,°45°,60°)的方向导数. 精品文档
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18.求函数u=xyz在点A(5,1,2)处沿到点B(9,4,14)的方向AB上的方向导数.
19.求函数u=x2+2y2+3z2+xy-4x+2y-4z在点A(0,0,0)及点B(5,-3,
z)处的梯度以及它们的模. 320.设函数u=ln??,其中r=点上成立等式gradu=1.
?1??r??x?a?2??y?0?2??z?c?2 求u的梯度;并指出在空间哪些
z2x2y221设函数u=2?2?2,求它在点(a,b,c)的梯度.
cab22.设r=r2?y2?z2,试求: (1)grad r; (2)grad
1. r23.设u=x3+y3+z3－3xyz,试问在怎样的点集上grad u分加满足:(1)垂直于Z轴,(2)平行于Z轴(3)恒为零向量.
24.设f(x,y)可微,L是R2上的一个确定向量,倘若处处有fL(x,y)?0,试问此函数f有何特征? 25.求下列函数的高阶偏导数:
(1) Z=x4+y4－4x2y2,所有二阶偏导数; (2) Z=ex(cos y+x sin y),所有二阶偏导数;
?3z?3z(3) Z=xln(xy),,; 22?x?y?x?y(4) u=xyze
x+y+z
?p?q?zu,; ?xp?yq?zr(5) Z=f(xy2,x2y),所有二阶偏导数; (6) u=f(x2+y2+x2),所有二阶偏导数； (7)Z=f(x+y,xy,
x),zx, zxx, Zxy. y26.求下列函数在指定点处的泰勒公式: (1) f(x,y)=sin(x2+y2)在点(0,0)(到二阶为止); (2) f(x,y)=
x在点(1,1)(到三阶为止); y(3) f(x,y)=ln(1+x+y)在点(0,0); 精品文档
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(4) f(x,y)=2x2―xy―y2―6x―36+5在点(1,－2).
27.求下列函数的极值点: (1) Z=3axy―x3―y3 (a>0); (2) Z=x2+5y2―6x+10y+6; (3) Z=e2x(x+y2+2y).
28.求下列函数在指定范围内的最大值与最小值. (1) Z=x?y,?x,y?x2+y?4；
222??(2) Z=x?xy?y,?x,y?x?y?1;
22??(3) Z=sinx+sing－sin(x+y),?x,y??x,y?x?0,x?y?2? 29.在已知周长为2P的一切三角形中,求出面积为最大的三角形.
30.在xy平面上求一点,使它到三直线x=0,y=0,及x+2y－16=0的距离平方和最小. 31.已知平面上n个点的坐标分别是
??A1?x1,y1?,A2?x2,y2?,…An?xn,yn?.
试求一点,使它与这n个点距离的平方和最小.
1 1 1 32.设 u= x y z
x2 y2 z2求(1)ux+uy+uz; (2)xux+yux+zuz; (3)uxx+uyy+uzz.
33.设f(x,y,z)=Ax2+By2+Cz2+Dxy+Eyz+Fzx,试按h,k,L的下正整数幂展开f(x+h,y+k,z+L).三、
三、考研复习题
1. 设f(x,y,z)=x2y+y2z+z2x,证明 精品文档
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fx+fy+fz=(x+y+z)2.
2. 求函数
?x3?y322,x?y?0?22f(x,y)??x?y在原点的偏导数fx(0,0)与fy(0,0),并考察f(x,y)在(0,0)的可微
?0,x2?y2?0?性.
1 1 ? 1 x1 2 x ? n x3. 设 u?x1 2 x ? n x
222????n?1?1?1x1 n? n2x nx
?u?0; (2) 证明: (1)??xk?1kn?xkk?1n?un(n?1)?u. ?xk2
4. 设函数f(x,y)具有连续的n阶偏导数:试证函数g(t)=f (a+ht,b+kt)的n阶导数
dng(t)???????h?k??x?f(a?ht,b?kt). dtn?y???2? ?x f ? y求2. 5. 设 ?(x,y,z)?d?z e?xg?y h ? z k ?x
na?x b ? y c ? z?3Φ 3 (y)求6. 设 Φ(x,y,z)?g1(y ) g. 2(y ) g?x?y?zh1(z ) h 2(z ) h3(z)7. 设函数u=f(x,y)在R2上有uxy=0,试求u关于x,y的函数式.
8. 设f在点p0(x0,y0)可微,且在p0给定了n个向量Li(i=1,2,…n).相邻两个向量之间的夹角为
f1(x ) f 2 (x ) f 3 (x)2π，证明 n精品文档
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?fi?1nLi(p0)?0.
9. 设f(x,y)为n次齐次函数,证明
??????x?yf?n(n?1)?(n?m?1)f. ??x??y??
10. 对于函数f(x,y)=sin
my,试证 x
??????x?yf=0.??x??y??m精品文档