第八讲 不等式
第一部分 几个重要不等式
一、平均值不等式及应用 （一）、相关定义
设a1，a2，?，an是n个正实数，记Hn?n111????a1a2an2，Gn?na1a2?an，
a?a2???anAn?1，Qn?na1?a2???an，分别称Hn，Gn，An，Qn为这n个正
n22数的调和平均、几何平均、算术平均数、平方平均． （二）、相关定理
定理 Hn?Gn?An?Qn, ,等号成立当且仅当a1=a2=?=an 引理 若xk?0且xk?xk?1(k?2,3,?,n)，则
xn?x1(2x2?x1)(3x3?2x2)??nxn?(n?1)xn?1?，等号成立当且仅当x=x=?=x ．
n12n（三）.二维平均值不等式的变形
(1)对实数a,b有a2+b2?2ab (2)对正实数a,b有
(3)对b>0，有， (4)对ab2>0有，
(5)对实数a,b有a(a-b) ?b(a-b) (6)对a>0,有
(7) 对a>0,有
(8)对实数a，b有a2?2ab-b2
(9) 对实数a，b及λ>0，有
例题选讲
1
例1．设x+y+z=0, x,y,z?R，求证： 6(x3?y3?z3)2?(x2?y2?z2)3 解：(1)由z=-(x+y),得x3+y3+z3=3xyz,记I=6(x3+y3+z3)=54x3y3z3. 现在从外形可看出能应用G3?A3
?x2?y2?z2?222但只能推出如下形式：I?54???2x?y?z
3??2??由于x+y+z=0及对称性，不妨设x>0,y?0,把I改写成
?xyxy2???z??xyxy2222I=216??z?216???2z?2xy222??????3??
2在注意到x2?y2?(x?y)2?2xy?z2?2xy,故2x2?2xy?x2?y2?z2。 从而原始得证。
另解：由于x+y+z=0及对称性，不妨设x>0,y?0，z ?0,由x+y=-z得
z2?(x?y)2,从而(x2?y2?z2)3?8x2?xy?y2,由A3?G3得x(x?y)y(x?y)x2?y2x?xy?y???22222222222xy(x?y)x?yxyz?33??33.424x2y2z22223?(x?y?z)?3?27??54x2y2z24?6(x2?y2?z2)3??3
例2.证明柯西不等式
证明：法一、若或命题显然成立，对?0且?0，取
代入(9)得有
2
两边平方得
法二、，即二次式不等式恒成立
则判别式
题外话：有很多同学十分“痛恨”?
?这两个符号，总是看不懂，其实这两个符
号是绝对好用的，并且以后会常常遇到，在大学课本中更是家常便饭，多看几次自然也就习惯了。
例3.已知a>0,b>0,c>0,abc=1,试证明：
(1)
(2)
证明：(1)左=[]
=
3
3
(2)由知
同理：
相加得：左3
例4.求证：
证明：法一、取，有
a1(a1-b)?b(a1-b), a2(a2-b)b? (a2-b),?, an(an-b)b? (an-b) 相加得(a12+ a22+?+ an2)-( a1+ a2+?+ an)b?b[(a1+ a2+?+ an)-nb] ?0
所以
法二、由柯西不等式得： (a1+ a2+?+ an)2=((a131+ a231+?+ an31)2? (a12+ a22+?+ an2)(12+12+?+12) =(a12+ a22+?+ an2)n, 所以原不等式成立
4
例5.已知a1, a2,?,an是正实数，且a1+ a2+?+ an<1，证明：
证明：设1-(a1+ a2+?+ an)=an+1>0,
则原不等式即nn+1a1a2?an+1? (1-a1)(1-a2)?(1-an) 1-a1=a2+a3+?+an+1?n
1-a2=a1+a3+?+an+1?n
???????????????? 1-an+1=a1+a1+?+an?n
相乘得(1-a1)(1-a2)?(1-an)n?n+1例6.对于正整数n，求证：
证明：法一、
>
法二、左=
5