2012年全国高中数学联赛模拟卷(四)第一试
(考试时间：80分钟 满分：120分)
姓名：_____________考试号：______________得分：____________
一、填空题（本大题共8小题，每小题8分，共64分）
1．各项均为实数的等比数列{an}，前n项之和记为Sn. 若S10?10，S30?70， 则S60? ．
630
2．关于x的方程2cos2(22x?x)?a?3sin(22x?x解：设22x?x222?1 )至少有一个解,则实数a的范围是_______。
?t, 则2cos2t?a?3sin2t, 即3sin2t?cos2t?1?a,得
?a?1, cos(2t?)?3222而t?22x?x?21?(x?1)?(0,2],有2t?由?1?????1?(,?4], 从而cos(2t?)?[?1,), 33332a?11?, 得?1?a?2. 223．已知正四棱锥P－ABCD的五个顶点在同一个球面上. 若该四棱锥的体积为V，则球的表面积
的最小值为_____________．
9?39V2 44．已知A?{xx2?4x?3?0,x?R},B?{x21?x?a?0,x2?2(a?7)x?5?0,x?R}.若
A?B,则实数a的取值范围是 . 1?x2解：可得A?{x1?x?3},设f(x)?2?a,g(x)?x?2(a?7)x?5要使A?B, 只需
f(x),g(x) 在(1,3)上的图像均在x轴的下方, 则f(1)?0,f(3)?0,g(1)?0,g(3)?0, 由此可解得?4?a??1.
5．一个盒中有9个正品和3个废品，每次取一个产品，取出后不在放回，在取得正品前已取出的废品数?的数学期望E?=_________________．
1111C9C3C99A32C939解析：?取值为0,1,2,3，且有P(??0)?1?，P(??1)?，， ?P(??2)??2344220C124A12A1231A3C39911?2??3??0.3 . . ?E??0??1?P(??3)?49?444220220220A1213
，则(x?y?z)min? . 4
解析：Qx,y,z均为非负实数，?2xy?2yz?2zx?2x?y?0， 6．若非负实数x,y,z满足x?y?z?x?2y?3z?222?x2?y2?z2?x?2y?3z?2xy?2yz?2zx?2x?y?13， 4?3?22?3?2213?(x?y?z)2?3(x?y?z)??0，?x?y?z?或x?y?z?（舍）
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所以，(x?y?z)min?2?3?22?3?22，只需x?y?0,z?取等. 227．正整数n使得n?2005是完全平方数, 则(n2?2005)n的个位数字是 ． 解：设n?2005?m(m?0),则(m?n)(m?n)?2005?1?2005?5?401, 得
22?m?n?1?m?n?5?m?1003?m?203或,解得或?, ????m?n?2005?m?n?401?n?1002?n?1981002?10034?250?2,知它的个位数字是9, 由203198?2034?49?2,知它的个位数字也是9. 由10038．在平面直角坐标系内，将适合x＜y, |x|＜3, |y|＜3, 且使关于t的方程(x?y)t?(3x?y)t?
x－y
＝0没有实数根的点(x,y)所成的集合记为N，则由点集N所成区域的面积为 _______.
233233421
解析：令u?t，原方程化为(x?y)u?(3x?y)u?1?0. ① x?y??(3x?y)2?4(x3?y3)?1?5x2?2xy?3y2?(5x?3y)(x?y). x?y所给方程没有实根等价于方程①无实根或有实根但均为负根，所以，
?x?y,?x?y,?x?3,???x?3,?或?y?3, ??y?3,?(5x?3y)(x?y)?0,?(5x?3y)(x?y)?0????3x?y?0.点集N所成区域为图中阴影部分，其面积为
124181S?S?ABO?S?BCO???3??6?3?.
2525二、解答题（本大题共3小题，第9题16分，第10、11题20分，共56分）
5
9．已知定义在R上的函数f (x)满足：f (1)＝，且对于任意实数x、y，总有
2
f(x)f(y)?f(x?y)?f(x?y) 成立.
（1）若数列{an}满足an?2f(n?1)?f(n)(n?1,2,3,L)，求数列{an}的通项公式
（2）若对于任意非零实数y，总有f(y)?2. 设有理数x1,x2满足|x1|?|x2|，判断f(x1)和
f(x2)的大小关系，并证明你的结论.
5，?f?0??2. 2令x?0，得 f(0)f(y)?f(y)?f(?y)，即2f(y)?f(y)?f(?y) ?f(y)?f(?y)对任意
解:（1）令x?1,y?0，?f?1??f?0??f?1??f?1?，又Qf(1)?的实数y总成立， ?f?x?为偶函数.令x?y?1，得 f?1?f?1??f?2??f?0?，
?2517175?f(2)?2，?f(2)?. ?a1?2f(2)?f(1)???6. 44225令x?n?1,y?1，得f(n?1)f(1)?f(n?2)?f(n)，?f(n?2)?f(n?1)?f(n).
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?5??an?1?2f?n?2??f?n?1??2?f?n?1??f?n???f?n?1??4f?n?1??2f?n??2?
?2[2f(n?1)?f(n)]?2an(n…1).
?{an}是以6为首项，以2为公比的等比数列. ∴an?6?2n?1.
（2）结论：f(x1)?f(x2). 证明：∵y?0时，f(y)?2,
∴f(x?y)?f(x?y)?f(x)f(y)?2f(x)，即f(x?y)?f(x)?f(x)?f(x?y). ∴令x?ky（k?N+），故?k?N+，总有f[(k?1)y]?f(ky)?f(ky)?f[(k?1)y]成立. 则f[(k?1)y]?f(ky)?f(ky)?f[(k?1)y]?f[(k?1)y]?f[(k?2)y]?L?f(y)?f(0)?0. ∴对于k?N+，总有f[(k?1)y]?f(ky)成立. ∴对于m,n?N，若n?m，则有f(ny)?f???n?1?y???L?f(my)成立.
+q1q,|x2|?2，其中q1,q2是非负整数，p1,p2都是正整数， p1p2qppq1+则|x1|?12,|x2|?12，令y?，t?q1p2,s?p1q2，则t,s?N.
p1p2p1p2p1p2∵|x1|?|x2|，∴t?s，∴f(ty)?f(sy)，即f(|x1|)?f(|x2|).
∵x1,x2?Q，所以可设|x1|?∵函数f(x)为偶函数，∴f(|x1|)?f(x1),f(|x2|)?f(x2).∴f(x1)?f(x2).
k3?110．对n?N*，，Tn??3，试求Sn?Tn的表达式. n?2，令Sn??24k?11?k?kk?2k?1nkn解：Sn?n?1?kk?1nk2?k4 ?k ?22(k?k?1)(k?k?1)k?1nn2?n1?1111?1?????2?2?2， ???2??2k?k?1?2?1?1?1n?n?1?2(n?n?1)k?12?k?k?1nnnk3?1(k?1)(k2?k?1)k?1nk2?k?1Tn??3???? ?? 22k?2k?1k?2(k?1)(k?k?1)k?2k?1k?2(k?1)?(k?1)?1
1?2n2?n?12(n2?n?1)n2?n2(n2?n?1)1?2???. ? 故SnTn?2n?(n?1)1?1?13n(n?1)2(n?n?1)3n(n?1)3x22
11．如图, 设P为双曲线－y＝1上第一象限内的任一点, F1, F2为左右焦点, 3y →→→→直线PF1, PF2分别交双曲线于M, N. 若PF1＝λ1F1M (λ1≠?1), PF2＝λ2F2N. 求λ1＋λ2的值及直线MN的斜率KMN的取值范围.
M 解: 设p(x0, y0), 因OF1?OP??1(OM?OF1), 所以
P OM?1??1?1OF1?1?1OP?(?2?2?1?x0?1,?y0?1), 同理ON?(2?2?2?x0F1 O F2 ?2,?y0x 222??(2?2?1?x0)?3y0?3?1将M、N坐标代入双曲线得: ? 222??(2?2?2?x0)?3y0?3?2N ?2), 2012模拟卷（四） 第 3 页 共 6页