南邮电磁场第2章习题解答

第2章习题解答

2.2已知半径为a、长为l的圆柱体内分布着轴对称的体电荷,已知其电荷密度?V?????0?a,

?0???a?。试求总电量Q。

解:Q??V?VdV??l00??2πa?0?a0?d?d?dz?πla2?0

232.3 半径为R0的球面上均匀分布着电荷,总电量为Q。当球以角速度?绕某一直径(z轴)旋转时,试求

其表面上的面电流密度。 解:面电荷密度为 ?S?Q 24πR0面电流密度为 JS??S?v??S?R0sin??QQ?sin? ?Rsin??024πR04πR02.4 均匀密绕的螺旋管可等效为圆柱形面电流JS?e?JS0。已知导线的直径为d,导线中的电流为I0,试

求JS0。

I04I0? 22π(d/2)πd4I由于导线是均匀密绕,则根据定义面电流密度为 JS?Jd?0

πd4I因此,等效面电流密度为 JS?e?0

πd2.6 两个带电量分别为q0和2q0的点电荷相距为d,另有一带电量为q0的点电荷位于其间。为使中间的

解:每根导线的体电流密度为 J?点电荷处于平衡状态,试求其位置。当中间的点电荷带电量为-q0时,结果又如何? 解:设实验电荷q0离2q0为x,那么离q0为d?x。由库仑定律,实验电荷受2q0的排斥力为

F1?实验电荷受q0的排斥力为

12q0 24π?xq01 24π?(d?x)q012q01?要使实验电荷保持平衡,即F1?F2,那么由,可以解得 224π?x4π?(d?x)F2?x?22?1d?0.585d 22?1d?0.585d。只是这时实验电荷与q0和2q0不

如果实验电荷为?q0,那么平衡位置仍然为x?是排斥力,而是吸引力。

2.7 边长为a的正方形的三个顶点上各放置带电量为q0的点电荷,试求第四个顶点上的电场强度E。 解:设点电荷的位置分别为q0?0,0,0?,q0?a,0,0?和q0?0,a,0?,由库仑定律可得点P?a,a,0?处的电

场为

1?1?1E??ex?ey?22?4π?0?2???e?e?xyq0?2a?2?ey1q01q0?ex4π?0a24π?0a2

2?1q0?82π?0a21

2.9半径为R0的半球面上均匀分布着面电荷,电荷密度为?S0,试求球心处的电场强度;若同样的电荷均

匀分布在半径为R0的半球内,再求球心处的电场强度。 解:面电荷密度产生的电场强度为

E?r??14π?02π?S??r?r???r?r?π/23S0dS?

2根据面电荷分布的对称性,电场强度只沿着z方向。由于dS??R0sin??d??d??,那么

E?r???ez?S04π?0?0d???0sin2??d?? ??ez?S0 4?0如果电荷均匀分布在半球内,那么体电荷密度为

22πR0?S03?S0Q ????332πR0/32πR0/3R0把体电荷密度分成很多薄球壳,根据上述结果,厚度为dr?的球壳产生的电场强度为

?dE?r???ezdr?

4?0那么,半球内均匀分布的电荷密度在球心产生的电场强度为

E?r?)??ez?4?0?R00dr???ez3??R0??ezS0 4?04?02.14 如题2.14图所示,两个半径分别为a和b?b?a?的球面之间均匀分布着

体电荷,电荷密度为?0。两球面的球心相距为d,且d?a。试求空腔内的电场。

解:我们把空腔看成是由电荷密度分别为?0和??0的体电荷,那么在空腔内电场可以看成电荷密度为?0、

半径为b的大圆球产生的场和电荷密度为??0、半径为a的小圆球所产生的的场的叠加。由高斯定理,

大圆球在球内产生的电场为

?0 ——场点到大球球心的距离Qrbr?rbb3?rb23?

?0 ——场点到小球球心的距离 Q而小圆球在球内产生的电场为 Ea?rar??raa23?ra3????因此合成场为 E?0rb?0ra?0d d——大球球心到小球球心的距离

3?3?3? Eb?2.22 如题2.22图所示,在半径为a的圆柱导体内并排挖了两个与其轴线平行、半径为b的圆柱形空腔。

两空腔的轴线与导体柱的轴线的距离相等,均为d,且d?b。当导体通以均匀分布的电流I时,试求空腔内的H。

22解:假设导体中的电流是?ez方向的。由于导体的电流密度为J0?I/?πa?2b?,所以可以把空腔看

成是两个电流密度也为J0的?ez方向的导体柱。那么在空腔内磁场可以看成该两个小导体柱和半径为

????a,没有空腔的大圆柱导体柱所产生的场的叠加。利用安培环路定律, 与z轴平行且位于z轴的圆柱

导体柱所产生的磁场为

J0??J0?ey?exe???a??xy???22??H????22JJaa00?e???a???exy?eyx???2x2?y2?2?? 与z轴平行位于?x0,y0?的圆柱导体柱所产生的磁场为

??a

??aJ0????ey?y?ex?x????x0y0??2??H??J0a2??22??ex?y?y0??ey?x?x0???2?x?x?y?y????00?

导体内

导体外2

由此可得两个空腔内的磁场分别为

左右左腔内 H?H大?H小 ?H小?II??exy?ey?x?d???ey?ex???xy?2π?a2?2b2?2π?a2?2b2??

Ib2??exy?ey?x?d???2?222?2π?a?2b??x?d??y??x?d?b2???Iyb2???e?ed?????xy22222π?a2?2b2??x?d?yx?d?y???????????左右右腔内 H?H大?H小 ?H小IIb2??exy?ey?x?d?????exy?eyx??2πa2?2b22?2?2π?a2?2b2?x?d?y?????I??exy?ey?x?d???22?2π?a?2b?

??x?d?b2???Iyb2???e?ed?????xy22222π?a2?2b2??x?d?yx?d?y???????????2.30 已知无源的自由空间内E?exE0cos??t??z?,其中E0,?和?为常数。试求磁场强度H和位移

电流Jd。

解:由麦克斯韦第二方程可得

ex?B?????E??t?xEx于是有

ey??yEyezex??0?zExEzey00ez??ey?E0sin??t??z? ?z0H?B?0t??1?0?t??ey?E0sin??t??z?dt

考虑到t???时,场还不存在,即H?????0,可以得到

H?而位移电流

B?0???0???1ey?E0sin??t??z?dt?ey?E0cos??t??z? ??0?D?E??0??ex??0E0sin??t??z? ?t?tπxsin??t??z?,其中H0,a,?和?为常数。试求E和Jd。2.31 已知无源的自由空间内H?eyH0cos a解:由于在无源的自由空间J?0,由麦克斯韦第一方程可得

Jd?ex?D????H??t?xHx?ex?H0cosey??yHyezex????z?x0Hzey0Hyez?Hy?Hy ???ex?ez?z?z?x0πH0πxπxcos??t??z??ezsinsin??t??z? aaa考虑到t???时,场还不存在,即E?????0,于是有 E?D?1?0?0????H?dt?et??x?H0πH0πxπxcossin??t??z??ezsincos??t??z? ??0aa??0a而位移电流 Jd?

πH0?Dπxπx?ex?H0coscos??t??z??ezsinsin??t??z? ?taaa3

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